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Überbestimmtes Gleichungssystem lösen
Universität / Fachhochschule
angewandte lineare Algebra
Tags: Methode der kleinsten Quadrate
 
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Guten Abend liebes Forum, ich muss für ein Protokoll in der Uni ein überbestimmtes Gleichungssystem lösen. Dieses besteht aus zwei Gleichungen mit einer Unbekannten. Es gibt jedoch keine eindeutige Lösung weshalb die Methode der kleinsten Quadrate angewendet werden soll. Bei meiner Recherche für einen Lösungsweg habe ich jedoch nicht wirklich etwas hilfreiches gefunden, deswegen wende ich mich an euch. Es geht dabei um eine Destillationsanlage und ich suche den Stoffstrom nS. Die Gleichungen lauten wie folgt: nF=nK+nS nF*xF=nK*xK+nS*xS und sind dabei nur Indizes. Bekannt sind alle sowie nF und nK. Der Dozent sagt außerdem man solle nF anzweifeln, also vermutlich variieren. Ich habe mit Excel herumprobiert, aber ich kenne mich nicht gut aus und habe kein Ergebnis erhalten. Wie kann ich nS bestimmen? Vielen Dank im Voraus Reoyan Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Wenn du "anzweifeln " sollst, warum behandelst du es nicht als Gleichungssystem in und und löst dieses erstmal? |
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Ich habe das einmal durchgerechnet und die Abweichung von nF erscheint mir etwas groß. Gibt es noch eine andere Möglichkeit das Problem zu lösen? Ich soll nF ja eigentlich nicht komplett neu berechnen. |
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Mit einem anderen als dem, welches das Gleichungssystem eindeutig liefert, sind die Gleichungen nicht zu erfüllen. Also kann man nur versuchen, die beiden Gleichungen bei gegebenem "bestmöglich" zu erfüllen, also die Fehler zu minimieren. Die Anwendung der entsprechenden numerischen Verfahren überlässt man am Besten Mathematikprogrammen, die das quasi auf Knopfdruck können. Wie lauten denn die Werte der fünf bekannten Größen? |
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xF xK xS nK nF Das sind die Daten von Versuch 1 von 3 Ich bekomme wenn ich das Gleichungssystem löse für nF neu= und für nS= raus. Mir kommen die Unterschied bei nF halt ziemlich hoch vor |
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Ja, deine Werte für kann ich nachvollziehen. Da so das Gleichungssystem fehlerfrei ist, wirst du mit einer Fehlerrechnung kein besseres Ergebnis erzielen können. Rein mathematisch ist das also die fehlerfreiste Lösung, die möglich ist. In wie fern das Sinn macht, oder deinem Bauchgefühl für Plausibilität zuwider läuft, können wir aus den Informationen, die du bietest, nicht weiter einschätzen oder verbessern. |
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"nF = nK nS nF*xF=nK*xK+nS*xS" mfG Atlantik  |
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Hallo, Du musst Dich entscheiden, was Dein Problem sein soll. Wenn alles bekannt ist außer dann kann man nach der Methode der kleinsten Quadrate bezüglich minimieren, was elementar ist. Gruß osm |
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Danke osm, deine Antwort hat ein gutes Ergebnis geliefert. Meine Frage ist beantwortet. Tut mir Leid, dass ich mich nicht so gut ausdrücken konnte. Beste Grüße |
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Danke osm, deine Antwort hat ein gutes Ergebnis geliefert. Meine Frage ist beantwortet. Tut mir Leid, dass ich mich nicht so gut ausdrücken konnte. Beste Grüße |
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Ich komme mit deinen Werten auf Wenn man damit die beiden zu erfüllenden Gleichungen überprüft, sind die Abweichungen auch nicht so gering (weil du geschrieben hast, dass die die Abweichung von rund für bei der genauen Lösung des Systems zu hoch erscheint). Im Anhang auch die (offenbar lineare) Änderung des "optimalen" Werts von bei Variation von . Darunter ein Maß für den Fehler (Wurzel aus der Summe der Fehlerquadrate, also aus dem Ausdruck, den pwmeyer genannt hatte).  |
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Hallo, "Tut mir Leid, dass ich mich nicht so gut ausdrücken konnte." Das ist kein Problem; dafür ist das Forum da, so etwas zu klären. Gruß pwm |
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