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Überdeckung konstruieren
Universität / Fachhochschule
Algebraische Topologie
Tags: Algebraische Topologie
 
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Wir hatten mal einen Satz der sagte, falls X pfadzusammenhängend und lokal zusammenhängend und semilokal zusammenhänged ist, dann gibt es eine Bijektion zwischen der Menge von Basispunkt erhaltenden Isomorphieklassen von pfadzusammenhängenden Überdeckungen und der Menge von Untergruppen von , die man durch assozieren von zur Überdeckung erhält. Bzw. wenn man die Basispunkte ignoriert, dann gibt es eine Isomorphie zwischen Isomorphieklassen von pfadzusammenhängenden Untergruppen und Konjugationsklassen von Untergruppen. Ich verstehe das aber nicht ganz... Wie kann man jetzt genau die Überdeckungen von z.B. bestimmen? Ich weiss ja, dass ist (das haben wir mal bewiesen). Die Untergruppen davon sind {0} und . D.h. wir wissen, dass es zwei Überdeckungen gibt. Aber wie bestimme ich die nun konkret? Wäre sehr froh um Hilfe und danke schon jetzt im Voraus. LG Digi |
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Hi Digi, ich versteh noch nicht alles, was du geschrieben hast. Wie genau sind z.B. und zu verstehen? Meinst du eine Überdeckungen aus pfadzusammenhängende Mengen, die den Basispunkt enthalten? Zudem schreibst du von Isomorphieklassen von Überdeckungen. Wie ist das gemeint? Besitzen die Überdeckungen eine Gruppenstruktur (oder meinst du homöomorphie)? Ich vermute, dass die Antwort irgendwie mit der Orientierbarkeit von zusammenhängt. LG Sina |
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ist die induzierte Abbildung, d.h. wenn ist, dann ist . Sorry, ich hätte das etwas besser ausformulieren sollen. Hier ist es vielleicht etwas besser beschrieben: planetmath.org/ClassificationOfCoveringSpaces.html Kannst du damit etwas anfangen? LG Didgi |
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Kann es sein, dass es nicht um Überdeckungen, sondern um Überlagerungen geht? |
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Hmm... Ich weiss nicht was der Unterschied zwischen Überlagerung und Überdeckung ist. Ich hatte die Vorlesung auf Englisch und da hiess es einfach "covering space"... |
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Ja, covering space ist ein Überlagetrungsraum, also ein Raum zusammen mit einer Projektion so dass stetig und surjektiv ist und diskrete Fasern hat usw. Eine Überdeckung wäre eher ein System . offener) Teilmengen von deren Vereinigung ganz ist (so etwa in der Definitin von Kompaktheit "jede offene Überdeckung enthält eine endlcihe Teilüberdeckung"). - Zurück zu deinem Probelm. Da wegzusammenhängend, lokal zusammenhängend und semilokal zusammenhängend ist (ist nicht vielleicht eher zusammenhängend, lokal wegzusammenhängend und semilokal einfach zusammenhängend gemeint?), müsste es im wesentlichen zwei Überlagerungen on geben. Wie schon jemand gesagt hat, liegt das an der Orientierung (woraus sich ja auch die ergibt). Die Identität ist schon einmal ein Beispiel (ich weiß nicht, wie eure Zuordnung genau aussieht, aber vermutlich entspreicht sie der trivialen Untergruppe). Die andere ist die universelle Überlagerung, und bei ist das wie folgt: Die Punkte von sind ja die Geraden im durch den Ursprung. Ist so sei die durch verlaufende Gerade. Offenbar werden jeweild ein Punkt aus und sein Antipode auf denselben Punkt in abgebildet. |
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Ach so, ja das macht Sinn. Noch eine etwas allgemeinere Frage: Wie kann man dann bei mehr als zwei Untergruppen die Überlagerungen bestimmen oder geht das gar nicht? |
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Ich hab mir inzwischen überlegt, wie eur Satz wohl bewiesen wurde. Nach Definition ovn "universeller" Überlagerung gibt es ja zu jeder Überlagerung ein eindeutiges passendes . Wir können die faser über mit identifizieren. Die Menge aller für die "der" Weg in von 1 nach unter zu einem zusammenziehbaren Weg in wird, ist ziemlich offensichtlich eine Untergruppe von . Umgekehrt kann man den Quotienten von nach einer beliebigen Untergruppe von bilden (per Monodromie von der Faser über zu anderen Fasern fortsetzen) und so eine zugehörige Überlagerng finden. Im Beispiel besteht diese Quotientenbildung gerade darin, Antipoden zu identifizieren - womit man eben die andere, die triviale Überlagerung findet. |
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Ok. Vielen Dank! |
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