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Überdeckungskompakt

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Algebraische Topologie

Tags: Algebraische Topologie

anonymous

11:32 Uhr, 26.02.2019

Ich habe zu folgendem Beispiel eine Frage:

Das folgende Beispiel soll eher eine versteckte Übungsaufgabe darstellen: Versucht aus der Überdeckung des offenen Intervalls

(0,1)

durch Mengen der Form (1/n,1−

\frac{1}{n})

mit

n

∈

N

eine endliche Teilüberdeckung auszuwählen. Um euch die Übungsaufgabe nicht wegzunehmen, geben wir nun eine andere offeneÜberdeckunganundzeigenzunächst,dassdieseeineoffeneÜberdeckung des Intervalls

(0,1)

ist und danach, dass diese Überdeckung keine endliche Teilüberdeckung besitzt, die das Intervall

(0,1)

überdeckt. Hieraus ergibt sich, dass

(0,1)

nicht überdeckungskompakt und damit nicht kompakt ist. Wir behaupten als erstes, dass die Vereinigung von

(\frac{1}{n} + 2,

1/n)=:Un für

n = 1

bis unendlich.
eine offene Überdeckung vom Intervall(0,1)ist. Dazu ist zu zeigen, dass für alle

x

∈(0,1) ein

n

∈

N

mit

x

∈ Un existiert. Solch ein

n

existiert aber mit

\frac{1}{n} + 2 < x

.

Warum kann ich einfach annehmen, dass solch ein

n

existiert ??

Wir verwenden nun das kleinste solche

n,

also

x

≤

\frac{1}{n} + 1

.

Dann gilt:

\frac{1}{n} + 2

<x≤

\frac{1}{n} + 1 < 1 n

⇒

x

∈ Un. Hieraus folgt nun, dass Un eine Überdeckung von

(0,1)

ist

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

ermanus aktiv_icon

11:48 Uhr, 26.02.2019

Hallo,
so ist dein Text kaum verständlich.
Du meinst doch sicher nicht

\frac{1}{n} + 1

, sondern wohl eher

\frac{1}{n + 1}

etc. ?
Wenn du im Text-Modus schreibst, bekommst du die richtige Darstellung,
wenn du 1/(n+1) schreibst.
Gruß ermanus

anonymous

13:24 Uhr, 26.02.2019

Ja das meinte ich.
Sorry, ich hatte ein bisschen Eile und den Text auch nicht mehr übergelesen.
Die Frage hat sich jetzt auch schon erledigt denke ich,
da man ja einfach annehmen kann das es ein solches

n

gibt, weil man ja immer ein

n

aus den natürlichen Zahlen finden kann, sodass

\frac{1}{n + 2} < x

anonymous

13:28 Uhr, 26.02.2019

Warum gilt aber

x

≤

\frac{1}{n + 1}

ermanus aktiv_icon

13:54 Uhr, 26.02.2019

Du suchst ein

n

, für das

\frac{1}{n + 2} < x \leq \frac{1}{n + 1}

ist.
Gehe zu den Kehrwerten über:
Du suchst ein

n

, für das

n + 2 > \frac{1}{x} \geq n + 1

ist.
Da

x \in (0, 1)

, ist

\frac{1}{x} \in (1, \infty)

.
Also liegt

\frac{1}{x}

garantiert zwischen zwei benachbarten natürlichen Zahlen.
Gruß ermanus

anonymous

14:33 Uhr, 26.02.2019

Ahh ja alles klar
ich habe mir die Rechnung nun noch weiter angeschaut und komme leider an einigen Stellen nicht weiter.
Im Anhang werde ich mal ein Bild dazu einfügen.
Irgendwie wird eine endliche Indexmenge gewählt und

n - 1,

wobei

n

aber kein Element von I ist... aber

n - 1

kann dann ja ein Element von I sein oder ?

Was wird da im darauf folgenden Schritt genau gemacht ? Irgendwie verwirren mich die Indizes

ermanus aktiv_icon

14:45 Uhr, 26.02.2019

Kannst du mir bitte den Text davor auch noch einscannen?
Habe ich das richtig verstanden, dass die

U_{i}

die
Intervalle

U_{i} = (\frac{1}{i + 2}, \frac{1}{i})

sind?
Was ich niht verstehe, warum der Autor hier so ein umständliches Gewese macht ;-)
Dsa ist doch alles viel einfacher zu begründen.

anonymous

14:47 Uhr, 26.02.2019

Ja klar auf jeden Fall,
irgendwie komme ich sogar nicht zurecht gerade mit dem zweiten Teil

anonymous

14:58 Uhr, 26.02.2019

Also was ist

z . B

. mit Ui-2 genau gemeint …

ermanus aktiv_icon

15:13 Uhr, 26.02.2019

Also, dass die

U_{n}

eine Überdeckung liefern, ist dir klar?
Dass es keine endliche Teilüberdeckung darin gibt, würde ich
ganz anders beweisen, als der Autor deines Textes es macht.
Wenn du dir die ersten

U_{n}

anschaust, bekommst du

U_{1} = (\frac{1}{3}, 1), U_{2} = (\frac{1}{4}, \frac{1}{2}), . . .

.
Daran kannst du schon mal erkennen (vermuten), dass zwei aufeinander
folgende

U_{i}, U_{i + 1}

eine Überlappung haben:

⋃_{i = 1}^{n} U_{i} = (\frac{1}{n + 2}, 1)

.
Betrachtet man also eine Teilfamilie

U_{i_{1}}, \dots, U_{i_{n}}

mit

i_{1} < i_{2} < \dots < i_{n}

,
dann gilt

U_{i_{1}} \cup U_{i_{2}} \cup \dots \cup U_{i_{n}} \subseteq U_{1} \cup U_{2} \cup \dots \cup U_{i_{n} - 1} \cup U_{i_{n}} = (\frac{1}{i_{n} + 2}, 1)

.
Offenbar kommt das Element

\frac{1}{i_{n} + 3} \in (0, 1)

darin nicht vor,
also ist diese Teilfamilie keine Überdeckung.
Nun muss ich leider offline gehen.
Gruß ermanus

ermanus aktiv_icon

19:31 Uhr, 26.02.2019

Hallo,
bin wieder im Lande ;-)
Ist ja ganz nett vom Text, eine Überdeckung durchzuspielen,
die von der Überdeckung durch die offenen Intervalle

(\frac{1}{n}, 1 - \frac{1}{n})

abweicht, aber ob der Erkenntnisgewinn durch
das komplizierte Beispiel erheblich ist, möchte ich bezweifeln.
Das Standardbeispiel

(\frac{1}{n}, 1 - \frac{1}{n})

ist für mich "natürlich"
gegeben und in meinen Augen viel eindringlicher und klarer.
Gruß ermanus

anonymous

08:46 Uhr, 27.02.2019

Danke @ermanus für deine Antworten,
leider habe ich nun immer noch nicht ganz verstehen können, wie man das wirklich zeigt, dass das eben keine endliche Teilüberdeckung ist.
Mündlich Begründen würde ich es wie folgt,
nämlich dass wenn man beliebig viele Elemente aus der offenen Überdeckung herausnehmen würde immer noch unendlich viele benötigt werden um eben (0,1) zu überdecken..

___

Wahrscheinlich werde ich mir nochmal ein anderes Beispiel anschauen

Liebe Grüße,
Lena

anonymous

08:46 Uhr, 27.02.2019

ermanus aktiv_icon

09:04 Uhr, 27.02.2019

Hallo Lena,
ich schreibe dir im Laufe des Vormittags nochmal eine genauere
Beschreibung des Standardbeispiels

U_{n} = (\frac{1}{n}, 1 - \frac{1}{n})

.
Vielleicht wird es dann klarer ;-)
Gruß ermanus

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