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Überdeckungssatz von Heine Borel
Universität / Fachhochschule
Tags: Überdeckung
 
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Mir ist der Satz von Heine Borel noch unklar, deshalb wollt ich ihn mal mit einem Beispiel klar machen. Satz: Eine Menge ist kompakt Jede offene Überdeckung von besitzt eine endliche Teilüberdeckung. Beispiel ist kompakt. Denn und . ist eine offene Überdeckung von M. Also gilt . Die offene Überdeckung von besitzt eine endliche Teilüberdeckung. ist kompakt. Beispiel ist nicht kompakt. aber wieso ist jetzt nicht kompakt? wir könnten doch hier genau so begründen wie bei . es gilt doch . und besitzen eine endliche Teilüberdeckung. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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"aber wieso ist jetzt M2 nicht kompakt? wir könnten doch hier genau so begründen wie bei M1." Weil Deine Begründung im ersten Fall auch falsch ist. Der Beweis, dass kompakt ist, ist deutlich komplizierter. Das wird indirekt bewiesen, also durch die Annahme, dass eine unendliche Überdeckung existiert, welche keine endliche Teilüberdeckung zulässt. Und dann leitet man Widerspruch ein. Den Beweis ist nicht schwer im Netz zu finden. Die Überdeckung von , aus welcher man keine endliche Überdeckung auswählen kann: . |
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anstatt könnten wir aber auch nehmen oder? hauptsache wir haben eine überdeckung. |
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Ja, das letzte Intervall ist nur dazu da, noch den Punkt "mitzunehmen", der sonst nicht bedeckt bliebe. Es würde jedes Intervall der Gestalt mit und passen. |
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