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Übergangswahrscheinlichkeit zurückrechnen

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Markov, Markov-Kette, Markov-Ketten, Übergangsmatritzen, Übergangsmatrix, Übergangsprozess

Nico^W^

10:37 Uhr, 10.06.2015

Guten Morgen liebes Forum,

viele von euch freuen sich immer besonders auf das Rätseln :-D) Ich glaube das hier könnte so eine Rätselaufgabe sein :-)

Gegeben ist mir ein Übergangsgraph. Aus diesem habe ich diese Übergangsmatrix gemacht:

(\begin{matrix} 0,6 & 0,5 & 0,2 \\ 0 & X & 0 \\ X & 0 & 0,8 \end{matrix}) = M

Die Übergangsmatrix beschreibt den monatlichen Übergang von Menschen zwischen 3 verschiedenen Orten. Hier der Bestandsvektor der Anzahl an Menschen an den 3 Orten:

(\begin{matrix} 2800 \\ 500 \\ 600 \end{matrix}) = v 0

Mir ist klar das wenn ich die Übergangsmatrix mit dem Bestandsvektor multipliziere, ich die Neuverteilung für den nächsten Monat kriege.

Jetzt möchte ich gerne die Werte für

X

in der Übergangsmatrix herausfinden. Gegeben ist mir dazu die Verteilung der Menschen (Bestandsvektor) zum Zeitpunkt Null. Und die Verteilung der Menschen nach 3 Monaten also 3 maliger Multiplikation des bestandsvektors mit der Übergangsmatrix:

(\begin{matrix} 1450 \\ 32 \\ 2340 \end{matrix}) = v 3

Wie kann ich nun das

X

in der Übergangsmatrix herausfinden ?
Gilt Eventuell

M^{3} \cdot v 0 = v 3

Hat das vielleicht irgendwas mit Markov Ketten zu tun ? Ich weiß leider noch nicht was das ist.

Vielen dank :-)

Edit: Was ich noch weiß ist, das

x = 0,4

ist. Das habe ich durch manuelles zurückrechnen rausgekiregt. Also ich habe einfach ein ELement aus

v 0

genommen dann mit

0,4

(geraten) multipliziert , ANS wieder mit

0,4

multipliziert und dann nochmal ANS mit

0,4

mulipliziert und dann kam der Wert aus dem entsprechenden Element aus

v 3

. Die Ergebnisse aus

v 3

sind definitiv richtig da sie aus der Aufgabe stammen trotzdem fällt mit

x = 0,4

auf, dass die Spaltensumme in der Übergangsmatrix ungleich 1 ist. Außerdem verschwinden Leute (kein Problem in der Aufgabe gehts um Krieg) das ist sicher darauf zurückzuführen da es in der eine Spalte in der Übergangsmatrix nur