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Überprüfen, ob ein Tupel ein kommutativer Ring ist

Universität / Fachhochschule

Ringe

Tags: kommutativ, Potenzmenge, Ring, Tupel

anonymous

14:06 Uhr, 15.11.2009

Hallo,
ich habe mal wieder eine Frage zu einer Aufgabe.
Sie lautet:
Sei

M

eine nichtleere Menge und

2 M

die Potenzmenge. Zeigen Sie: Das Tupel

(2^{M}, Δ, \cap)

ist ein kommutativer Ring mit

1, d . h

. durch die Addition

A + B := A Δ B = (A \cup B) \ (A \cap B)

und die Multiplikation

A \cdot B := A \cap B

ist auf der Potenzmenge

2^{M}

eine Ringstruktur gegeben.

Ich weiß, dass ich jetzt

u . a

. prüfen muss, ob

(a + b) + c = a + (b + c)

a + b = b + a

(a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c

Nur was soll ich bei

a, b,

und

c

einsetzen? Beispielmengen für

2^{M}

?
Wär nett wenn mir jemand einen Ansatz geben könnte ;-)

Gruß, schorch

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

hagman aktiv_icon

14:27 Uhr, 15.11.2009

a, b, c

sollen beliebige Elemente von

2^{M}

sein, also beliebige Teilmengen von M.
Zuzeigen ist also

(a Δ b) Δ c = a Δ (b Δ c)

usw.
Für diesen speziellen Teil überlege, dass beide Seiten genau die Elemente enhalten, die entwder in genau einer oder in allen drei Mengen enthalten sind (oder auch: in einer ungerade Anzahl der beteiligten Mengen)

anonymous

14:36 Uhr, 15.11.2009

Sorry, das verstehe ich nicht?
Kannst du das mal für

(a + b) + c = a + (b + c)

(nur den Ansatz) zeigen?

schorch

hagman aktiv_icon

16:45 Uhr, 16.11.2009

Laut Definition gitl

x \in (A + B) \overset{}{\Leftrightarrow} (x \in A \land x \notin B) \lor (x \notin A \land x \in B)

Anders gesagt:

x \in (A + B)

genau dann, wenn

x

in genau einer der beiden Mengen liegt.

Ich behaupte, dass

x \in ((A + B) + C)

genau dann, wenn

x

in einer ungereadne Anzahl dieser drei Mengen liegt.
Zunächst liege

x

in einer ungeraden Anzahl dieser Mengen.
Liegt

x \in C

, bedeutet dies, dass

x

in einer geraden Anzahl der Mengen

A, B

liegt - folglich nicht in

A + B

, folglich in

(A + B) + C

.
Liegt

x

nicht in

C

, bedeutet dies, dass

x

in einer ungeraden Anzahl der Mengen

A, B

liegt - also in genau einer, also in

A + B

, also in

(A + B) + C

.

Die Argumentation, dass wenn

x

in einer geraden Anzahl Mengen liegt,

x \notin ((A + B) + C)

gilt, geht entsprechend.

Und ebenfalls entsprechend zeigt man, dass auch

x \in (A + (B + C))

genau dann gilt, wenn

x

in einer ungereadne Anzahl dieser drei Mengen liegt.

Wenn die Argumentation zu verwirrend ist, kann man solch auch eine Tabelle machen:

\begin{array}{cc} x \in A & x \in B & x \in C & x \in A + B & x \in (A + B) + C & x \in B + C & x \in A + (B + C) \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ ⋮ \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \end{array}

und dann feststellen, dass die beiden betreffenden Spalten gleich sind

anonymous

07:02 Uhr, 17.11.2009

Ah... jetzt hab ichs!
Danke für deine ausführliche Antwort und den Tipp mit der Tabelle.

gruß, schorch

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