Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Überprüfung auf Gruppenstruktur

Überprüfung auf Gruppenstruktur

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: Gruppen

Katie aktiv_icon

09:51 Uhr, 12.11.2009

Hallo,
ich habe noch eine Frage zu einer weiteren Aufgabe. Ich soll beweisen oder widerlegen, ob

(ℝ

{

1},

\circ)

mit

x \circ y = x + y - x \cdot y

eine abelsche Gruppe ist. Ich konnte die Aufgabe lösen, habe aber Zweifel, ob das so stimmt, vor allem, weil dies eingentlich eine schwierigere Aufgabe sein soll. Vielleicht habe ich etwas bestimmtes übersehen?

Abgeschlossenheit gilt meiner Meinung nach, da

x + y - x \cdot y

nur 1 ergeben könnte für

x

oder

y = 1

. Da dies ausgeschlossen ist, ist auch

x + y - x \cdot y \in ℝ

{

1}.

Neutrales Element ist

e = 0 \in ℝ

{

1} , inverses Element zu

x

ist

\frac{- x}{1 - x} \in ℝ

{

1}.

Assoziativgesetz und Kommutativgesetz gelten ebenfalls.

Mag dies mal jemand überprüfen, damit ich mich sicherer fühle?

Vielen Dank!

hagman aktiv_icon

11:43 Uhr, 12.11.2009

Der größte Rechenaufwand steckt wahrscheinlich in ellenlangen Ausdrücken bei der Assoziativität.
Abgeschlossenheit sieht man am leichtesten über

x \circ y - 1 = x + y - x y - 1 = - (x - 1) \cdot (y - 1), d . h

. links steht 0 genau dann, wenn einer der Faktoren 0 ist.
Diese Schreibweise erleichtert auch die befürchtete Rechnung zur Assoziativitär:

(x \circ y) \circ z - 1 = - (x \circ y - 1) (z - 1) = + (x - 1) (y - 1) (z - 1)

und dasselbe ergibt sich bei

x \circ (y \circ z) - 1 = - (x - 1) (y \circ z - 1) = + (x - 1) (y - 1) (z - 1)

.

Alternativer (eigentlich schönerer) Weg:
Betrachte die bijektive Abbildung

φ : ℝ \ {1} \to ℝ \ {0}, x \mapsto 1 - x

Dann gilt

φ (x \circ y) = 1 - x \circ y = (1 - x) (1 - y) = φ (x) φ (y)

Folglich übertragen sich alle Gruppengesetze von

(ℝ \ {0}, \cdot)

auf

(ℝ \ {1}, \circ), d . h

. letzteres ist auch eine abelsche Gruppe (und

φ

dann ein Gruppenisomorphismus)

Astor aktiv_icon

11:52 Uhr, 12.11.2009

Hallo,
also das neutrale Element ist richtig.
Abgeschlossenheit richtig.
Inverses richtig.
Kommutativität richtig.

Assoziativität habe ich nicht geprüft.

Gruß Astor

Katie aktiv_icon

12:29 Uhr, 12.11.2009

Das Assoziativgesetz habe ich einfach durch Einsetzen geprüft. Ist zwar viel Schreibarbeit, aber meiner Meinung nach die leichteste Variante:

(x \circ y) \circ z = x \circ (y \circ z)

\Leftrightarrow (x + y - x \cdot y) \circ z = x \circ (y + z - y \cdot z)

\Leftrightarrow x + y - x \cdot y + z - (x + y - x \cdot y) \cdot z = x + y + z - y \cdot z - x \cdot (y + z - y \cdot z)

\Leftrightarrow x + y - x \cdot y + z - (x \cdot z + y \cdot z - x \cdot y \cdot z) = x + y + z_{y} \cdot z - (x \cdot y + x \cdot z - x \cdot y \cdot z)

\Leftrightarrow x + y - x \cdot y + z - x \cdot z - y \cdot z + x \cdot y \cdot z = x + y + z - x \cdot z - y \cdot z + x \cdot y \cdot z

Aber ich bin sehr beruhigt, dass das alles zu stimmen scheint, dankeschön!

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

676293

676250

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?