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Überprüfung der gleich gradigen-Stetigkeit

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen, gleichgradig stetig, Stetigkeit

Lyla93 aktiv_icon

15:36 Uhr, 26.10.2014

Ich habe vorgegeben:

M = {x \in C ([0, 1], ℝ) : 0 = x (0) \leq x (t) \leq x (1) = 1}

und soll untersuchen, ob gleichgradige Stetigkeit vorliegt.

Wir haben in der Vorlesung bisher durchgenommen: M ist gleichgradig stetig, d.h für jedes

t \in I

für jedes

ε > 0

gibt es ein

δ > 0

, sodass

∣ ∣ f (t) - f (s) ∣ ∣ < ε

für alle

t, s \in I

mit

∣ t - s ∣ < δ

und für alle

f \in M

.

Ich weiß überhaupt nicht, wie ich diese Definition auf meine oben angegebene Menge beziehen soll. Was ist denn überhaupt mein f in dieser Aufgabe?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Lyla93 aktiv_icon

08:50 Uhr, 27.10.2014

Ich push das Thema nochmal hoch, weil ich dringend Hilfe brauche.

Ich bin jetzt am überlegen, ob das x meine Funktion ist, bzw. meine Funktionen sind. Denn laut Angabe ist ja

x \in C ([0, 1], ℝ)

, d.h. ja, dass x eine stetige Abbildung von [0,1] nach den reellen Zahlen ist.
Ich muss jetzt also folgendes beweisen:
Für jedes

t \in [0, 1]

, für jedes

ε > 0

, gibt es ein

δ > 0

, sodass:|

∣ x (t) - x (s) ∣ ∣ < ε \forall t, s \in [0, 1] m i t ∣ t - s ∣ < δ

.

Ich würde jetzt einfach mal so anfangen:
Sei ohne Beschränkung der Allgemeinheit t>s. Dann gilt nach Angabe:

0 \leq x (s) \leq x (t) \leq 1

. Also ist das Ergebnis von

x (t) - x (s)

im reellen Zahlenbereich

[0, 1]

. Ich weiß aber nicht, wie ich jetzt hier weitermachen soll:

∣ ∣ x (t) - x (s) ∣ ∣ = ? ?

Oder sollte ich eventuell lieber durch Argumentation auf den Ansatz kommen. Eventuell so: Da x n.V. stetig ist, nimmt es auf [0,1] sein Minimum und Maximum an. Es existiert also eine Schranke

c \in ℝ

mit:

∣ ∣ x (t) ʹ ∣ ∣ \leq c

. Mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung folgt:

∣ ∣ x (t) ʹ ∣ ∣ = ∣ ∣ \frac{x (t) - x (s)}{t - s} ∣ ∣

und damit:

∣ ∣ \frac{x (t) - x (s)}{t - s} ∣ ∣ \leq c

, was umgestellt meine Bedingung ergeben würde.

Wenn ich z.B. t=1 und s=0 wähle, dann hätte ich ja:

∣ ∣ x (t) - x (s) ∣ ∣ = ∣ ∣ x (1) - x (0) ∣ ∣ = ∣ ∣ 1 - 0 ∣ ∣ = 1

und es gilt:

∣ ∣ t - s ∣ ∣ = ∣ ∣ 1 - 0 ∣ ∣ = 1

, hier wäre also die Bedingung für gleichgradig stetig erfüllt, nur wie zeige ich das allgemein?

pwmeyer aktiv_icon

09:45 Uhr, 27.10.2014

Hallo,

ja, die "x" in der Aufgabe entsprechen den "f" in der Definition.

Ich meine, dass

M

nicht gleichgradig stetig ist. Ich würde mal auf die Funktionen

x (t) := t^{n}

schauen und dazu

s = 1

und

t = {(\frac{1}{2})}^{\frac{1}{n}}

.

gruß pwm

Lyla93 aktiv_icon

10:14 Uhr, 27.10.2014

Du meinst als Art Gegenbeispiel?

Lyla93 aktiv_icon

10:14 Uhr, 27.10.2014

also,

x (t) = t^{n}

erfüllt die Vorgabe für M, denn

0 = x (0) = 0^{n}

und

1 = x (1) = 1^{n}

. Es gilt auch

x (0) = 0 \leq x (t) \leq x (1) = 1

, also wäre diese Funktion schon mal Teil der Menge.
Wähle s=1 und

t = (0.5)^{1 / n}

, dann gilt:

∣ ∣ x (t) - x (s) ∣ ∣ = ∣ ∣ ((0.5)^{1 / n})^{n} - 1 ∣ ∣ = ∣ ∣ 0.5 - 1 ∣ ∣ = 0.5

, außerdem gilt:

∣ t - s ∣ = ∣ (0.5)^{1 / n} - 1 ∣

. Da

0 . 5^{1 / n}

kleinstenfalls (für n=1) 0,5 ist, und für n-->unendlich gegen den Wert 1 konvergiert, besitzt

∣ t - s ∣

ein Ergebnis zwischen 0,5 und 1.

Ich sehe noch nicht, wohin mich das jetzt führt?

pwmeyer aktiv_icon

12:13 Uhr, 27.10.2014

Na ja,

wenn Du

ε = \frac{1}{4}

vorgibst, dann gilt doch

1 - 0 . 5^{\frac{1}{n}} \to 0 (n \to \infty),

aber

| x_{n} (0 . 5^{\frac{1}{n}}) - x_{n} (1) | = 0.5 > \frac{1}{4}

.

Also gibt es für

ε = \frac{1}{4}

kein

δ

im Sinne der Definition.

Gruß pwm

Lyla93 aktiv_icon

17:35 Uhr, 27.10.2014

Vielen lieben Dank! :-)

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