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Überprüfung von Abbildungen injektiv, surjektiv..

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: bijektiv, injektiv, Lineare Abbildungen, surjektiv

Sykorax3 aktiv_icon

17:09 Uhr, 16.10.2014

Aufgabe ist es zu zeigen, ob die folgende Abbildung injektiv, surjektiv oder bijektiv ist.

Wie kann ich vorgehen, um zu Beweisen ob folgende Abbildung injektiv, surjektiv, bijektiv ist?

f :

ℝ → ℝ

x

↦

| x |

Ich weiß jetzt leider keinen Ansatz, um zu Beweisen, ob diese Abbildung injektiv, surjektiv oder bijektiv ist.

Hinzu kommt, dass man überprüfen soll, ob folgende Abbildungen gleich sind:

f :

ℝ≥0 → ℝ

x

↦

| x |

f :

ℝ≥0 → ℝ

x

↦

x

Muss man dafür einfach ein Beispiel einsetzen?

x = 2

oder wie kann man es zeigen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

17:19 Uhr, 16.10.2014

Zuallerst kann man so vorgehen, dass man sich vorher (ohne mathematischen Beweis) überlegt ob

f

denn inj., surj. oder bij. ist.

Z . B

. geht es sehr gut mit einer Skizze.

Deine Funktion

f

ist weder surjektiv noch injektiv, also insbesondere auch nicht bijektiv.

Wieso das so ist kannst du dir ja anhand der Definitionen anschaulich machen.
Falls du dir da schon schwer tust gebe Bescheid.

Ansonsten ist es ein Einfaches zu zeigen, dass eine Funktion keine dieser Eigenschaften besitzt, denn es reicht jeweils ein Gegenbeispiel anzugeben.

Grüße
Kim

Sykorax3 aktiv_icon

17:26 Uhr, 16.10.2014

Hallo Kim,

leider ist es so und ich habe noch probleme heraus zu finden, ob die Funktion injektiv, surjektiv oder bijektiv ist.
Was diese einzelnden Eigenschaften aussagen, ist mir klar.
Jedoch wie man es herausfindet, weiß ich nicht genau.

Ich würde mich sehr über eine kleine Erklärung freuen..

Also mein Problem ist dabei, ich weiß nicht wie man diese Funktion "auswerten" kann.

f :

ℝ → ℝ

x

↦

| x |

Nimmt man für das erste

x

eine Zahl aus ℝ und schaut was dabei wird, wenn man es mit betragstichen setzt?

Z . b

x = - 4

| x | = 4

Oder wie geht man dabei vor?

DrBoogie aktiv_icon

17:39 Uhr, 16.10.2014

Was ist injektiv? Injektiv heißt:

x_{1} \neq x_{2}

f (x_{1}) \neq f (x_{2})

.
Trifft das auf

∣ x ∣

zu? Hinweis: betrachte z.B.

x_{1} = 4

und

x_{2} = - 4

.

Zu Surjektivität. Kann

∣ x ∣

alle Werte aus

R

annehmen? Nein, z.B.

- 4

nicht. Also ist

∣ x ∣

als Abbildung

R \to R

nicht surjektiv.

Und bijektiv kann nur eine injektive und surjektive Abbildung sein.

anonymous

17:48 Uhr, 16.10.2014

Ok. Also:

Deine Funktion

f

ist die Betragsfunktion (kannst du ja unter Wikipedia nachschlagen, dann ist es vll sofort klar und du weißt auch wie diese aussieht).

Im Prinzip werden alle Zahlen die du in die Funktion einsetzt "positiv gemacht".

z . B

. ist

f (- 2) = 2

f (- 45) = 45

f (4) = 4

f (0) = 0

f (- 56,35) = 56,35

Wie gesagt, schau nach wie diese aussieht, oder besser zeichne sie dir auf Papier.

Injektiv kann sie ja nicht sein, da man zwei Elemente aus

ℝ

findet die das gleich Bild haben.
Konkret sieht das so aus:

f (- 1) = 1 = f (1),

denn ob du 1 oder

- 1

einsetzt, es kommt 1 raus, also kann die Funktion nicht injektiv sein, denn es müsste ja gelten:

für

x_{1}

und

x_{2}

aus dem Definitionsbereich mit

x_{1} \neq x_{2}

folgt, dass auch

f (x_{1}) \neq f (x_{2})

sein müssen.

Das gilt offensichtlich nicht

\Rightarrow f

ist nicht injektiv

Nun zur Surjektivität:

Die Def. ist: Zu jedem

y

aus dem Bildbereich, gibt es ein

x

aus dem Definitionsbereich sodass gilt:

f (x) = y

D . h

. wenn du zeigen willst, dass eine Funktion nicht surjektiv ist, suchst du dir ein Element aus dem Bildbereich aus, dass kein Urbild hat und fertig.

Sykorax3 aktiv_icon

17:56 Uhr, 16.10.2014

Vielen dank für diese verständliche Antwort! :-)

Es ist nun viel klarer und ich kann endlich mit den nächsten Aufgaben weiterrechnen.

Nochmal zur Surjektivität, damit ich es auch richtig verstanden habe.

Ich nehme einfach als

y

Wert eine Zahl aus

R (z . B

- 2)

und zeige somit, dass diese kein Urbild hat. (Denn für

x \to | x |

kann man keine negative Zahl für

y (| x |)

finden). Und dies sollte es gewesen sein?

anonymous

18:22 Uhr, 16.10.2014

Vollkommen richtig.

Wichtig ist aber hierbei den Definitionsbereich vom Wertbereich zu unterscheiden, vor allem dann wenn diese mit der gleichen Menge definiert sind.

z . B

. durch

f : X \to Y

mit

X = Y = ℝ

Bei dir müsstest du dann sagen dass

- 2 \in Y

kein Urbild, also kein

x \in X

hat sodass

f (x) = - 2

ist.

Noch ein Tipp bei Funktionen von

ℝ \to ℝ

wenn man sich das graphisch veranschaulicht dann ist solch eine Funktion

injektiv wenn der Graph von

f

eine beliebige waagerechte Gerade immer nur einmal schneidet.

surjektiv wenn der Graph von

f

die ganze Achse der Bildmenge also in diesem Fall

ℝ

überstreicht. (Bei deinem Beispiel nicht denn der Graph liegt ja überhalb der x-Achse)

1190721

1190705

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