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Umfang einer Hyperkugel
Universität / Fachhochschule
Tags: Geometrie, höhere Dimension, Kugelumfang
 
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Hilfe erbeten: Volumen und Oberfläche einer 4-dimensionalen Hyperkugel finde ich leicht im Internet. Volumen Hyperkugel Oberfläche Hyperkugel Aber was bitte ist der Umfang einer Hyperkugel ? Grüsse Dank voraus Solaus Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Kreis (Mathematischer Grundbegriff) |
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Hallo Der Umfang, wenn damit sowas wie der Umfang des Äquators gemeint ist ist in allen Dimensionen, da ja gleich. Aber sieh nach ob nicht die Oberfläche gemeint ist, also genaue Frage! Gruß ledum |
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Ja ich meine sowas wie den Äquator (einen Grosskreis) er ist doch wohl keinesfalls "bei allen Dimensionen 1d" wenn den Durchmesser bedeuten soll. Bei einer 3dimensionalen Kugel ist "der Äquator" klaro....aber wie bei einer Hyperkugel? |
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@Solaus Was ist denn nach deinem Verständnis ein solcher "Umfang" ? Doch wohl die Länge der Schnittlinie deiner Hyperkugel mit einer beliebigen zweidimensionalen Hyperebene, welche durch den Mittelpunkt der Hyperkugel verläuft - oder wie lautet deine Definition? Jedenfalls kommt nach dieser Definition stets für die Länge einer solchermaßen definierten Schnittlinie heraus, egal in welcher Dimension sich deine Hyperkugel befindet. |
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Wollen wir als Hyperkugel die Menge aller Punkte des vierdimensionalen Raumes verstehen, welche von einem festen Punkt, dem Mittelpunkt, konstanten Abstand haben? Also das, was im dreidimensionalen Fall eine Kugelfläche und im zweidimensionalen eine Kreislinie ist? Im Dreidimensionalen kannst du den (einen) "Äquator" als Schnitt der Kugelfläche mit einer den Mittelpunkt enthaltenen Ebene sehen, also als einen Großkreis der Kugel, ein eindimensionales Gebilde. Im Zweidimensionalen entspricht das dem Schnitt der Kreislinie mit einer Durchmessergeraden - diese zwei Punkte sind ein nulldimensionales Gebilde. Im Vierdimensionalen würde das daher dem Schnitt der Hyperkugel mit einer Hyperebene (also einem dreidimensionalen Raum), die den Hyperkugelmittelpunkt enthält, entsprechen. Dieser Schnitt ist eine Kugeloberfläche (sagt man da Großkugel dazu?) und diese Kugel hat den gleichen Radius wie die Hyperkugel. Dem Umfang des Großkreises im dreidimensionalen Fall würde hier konsequenterweise die Oberfläche dieser Schnittkugel entsprechen und die Formel dafür kennst du ja. |
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hal danke für die Antwort, ja ich meine "Länge der Schnittlinie mit einer Ebene durch den Mittelpunkt der Hyperkugel... Eine Ebene ist nach meinem Verständnis immer und warum Du sie Hyperebene nennst, verstehe ich nicht recht. "Nach dieser Definition"? welche andere Definition könnte es denn geben? Und schließlich kapiere ich Deinen Schlußsatz "egal in welcher Dimension sich Deine Hyperkugel befindet" auch nicht ganz. Ich hatte gedacht, der Ausdruck "Hyperkugel" für ein vierdimensionales Gebilde sei eindeutig....und das kann sich nur in einem Raum mit 4 (oder mehr)räumlichen Dimensionen befinden. Also Verzeihung, darum zweifle ich ein wenig an Grüße Solaus |
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Hallo Roman-22 erstmal danke. ...ich meine keine "Kugelfläche" sondern einen Kugel-Körper. Ja im dreidimensionalen Fall ist der Schnitt mit der Oberfläche der Kugel ein Kreis (was ein zwei- !!dimensionales Gebilde ist), nur die Länge dieser Kreislinie ist natürlich 1-dimensional. Dem Umfang der Hyperkugel (Großkreis) würde im vier-(!!)-dimensionalen Fall ...nein, bestimmt nicht die Oberfläche entsprechen. Die Oberfläche einer Hyperkugel ist 3-dimensional und der Umfang eines Kreises KANN nur 1-dimensional sein. So, ich hänge fest. Vielleicht ist auch meine Frage sinnlos, weil man zu einer Hyperkugel gar keinen "Umfang"=Großkreis angeben kann ?? Was ich letztlich will, ist den Zusammenhang zwischen einem Oberflächen-Linienelement ds²= dx²+dy²+dz² der Hyperkugel und dem Radius der Hyperkugel herstellen....dachte, das wäre für Mathematiker eine einfache Frage...anscheinend doch nicht. Grüße Solaus |
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> dachte, das wäre für Mathematiker eine einfache Frage...anscheinend doch nicht. Dieses Bashing kannst du unterlassen - nachdem du meinen Vorschlag für die Umfangdefinition ja anscheinend akzeptierst hast, ist die Antwort oben doch schon gegeben: Der Umfang ist . Grund: Die Hyperkugel ist rotationssymmetrisch, also können wir das Koordinatensystem auch so drehen, dass die genannte Schnittebene parallel zur -Ebene liegt, und durch die Bedingung "Mittelpunkt=Ursprung liegt in Schnittebene" ist es dann die -Ebene selbst! Die Schnittlinie besteht damit aus jenen mit , also folglich mit . Dass diese Linie die Länge hat, wirst du (hoffentlich) selbst berechnen können! |
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Ja im dreidimensionalen Fall ist der Schnitt mit der Oberfläche der Kugel Unpräzise formuliert, denn du schreibst nicht, womit du die Kugel schneidest. ein Kreis (was ein zwei- !!dimensionales Gebilde ist), Falsch! Eine Kreislinie ist ein eindimensionales Gebilde, auch wenn sie in einem zweidimensionalen "Raum" eingebettet ist nur die Länge dieser Kreislinie ist natürlich 1-dimensional. Falsch! Die Länge ist schlicht ein Skalar mit Einheit, also eine physikalische Größe. Ich habe versucht dir klar zu machen, dass alles, was du von Dimensionen auf Dimensionen zu übertragen versuchst, um eine Dimension höher wird und so wird dann eben aus der Länge ("Umfang") eine Fläche - ob dir das nun Recht ist oder nicht. Wenn du den "Umfang" einer Hyperkugel anders definiert haben möchtest, so müsstest du dich schon der Mühe unterziehen, diese Definition hier beizubringen. Das hast du bisher leider nicht geschafft. Der Schnitt einer Kugel beliebiger Dimension mit einer Ebene durch den Mittelpunkt der Kugel ist immer ein Kreis dessen Radius gleich dem Kugelradius ist und das ist unabhängig davon, ob du das nun glaubst oder dir vorstellen kannst oder nicht. Und da du mit dem Begriff Hyperebene offenbar überfordert warst - darunter versteht man im n-dimensionalen Raum einen linearen Unterraum der Dimension . Eine Hyperebene in der 2D-Ebene wäre demzufolge eine Gerade. Eine Hyperebene im vierdimensionalen Raum ist dann eben ein dreidimensionaler Raum und dessen Schnitt mit einer Hyperkugel ist dann eben eine Kugel so wie du sie kennst. |
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@ hal900 @ Roman-22 ja, besten Dank. Nur: bashing liegt mir fern, daß ICH die Frage schwierig finde, war eher anerkennend als abwertend und janze als Entschuldigung gemeint,Euch erneut bemühen zu müssen Dass bei 4-D-Fragen mein Anschauungsvermögen versagt, ist mir klar.... Ich arbeite dann mit einem Analogon...Eddingtons Ballon-Modell vom Universum. Nur manchmal geht es nicht ohne Hilfe. Grüße Solaus |
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