Umformung Normalform <>Punkt-Richtungs-Form

Hallo zusammen,

ich w¸rde mich gerne vergewissern, ob ich die Umformungen von Normalform zu Punkt-Richtungsform und andersrum richtig verstanden habe.

NF>PRF

E: ${\displaystyle {\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1+{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2+{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3=\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Jetzt setze ich ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1\mathrm{u<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2}$ fest um ${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3}$ zu bestimmen und wiederhole das bis ich 3Punkte der Ebene bestimmt habe. Einen der drei Punkte setze ich als St¸tzvektor fest und mach damit die anderen zwei vom St¸tzvektor abh‰ngig.

z.B.: St¸tzvektor (0 - 0 - 4) womit die Richtungsvektoren in der z-Koordinate z-4 seien.

PRF>NF

E:${\displaystyle \stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}=\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+\mathrm{\lambda <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{b<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}+\mathrm{\mu <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{c<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$

Kreuzprodunkt der Richtungsvektoren liefert mir den Normalenvektor ${\displaystyle \stackrel{\rightharpoonup }{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ der Ebene. Daraufhi wird das Skalarprodukt des St¸tzvektors mit dem Normalenvektor gebildet, der dann d in der NF entspricht.

also

E:${\displaystyle {\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1+{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2+{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_3=\mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$

Habe ich die Umformungen richtig verstanden?

Vielen lieben Dank f¸r eure Hilfe.

Das müßte Normalenform lauten.

mit NF > PRF meinte ich auch nur, dass du mit Hilfe der NF drei Punkte der Ebene bestimmst. Einen als Stützvektor wählst und die anderen beiden dann Richtungsvektoren werden. Aber du kannst ja nicht einfach die Punkte als Richtungsvektor wählen, weil die ja die Richtung vom Stützvektor und nicht vom Ursprung aus angeben.

Besser? Aber danke schonmal.