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Umformung einer Komplexen Zahl

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen

pabrelin aktiv_icon

11:43 Uhr, 08.02.2011

Hallo,
ich habe folgende aufgabe mit lösung, aber die umformung in dem lösungsweg kann ich nicht nachvollziehen.

Berechnen Sie Realteil, Imaginärteil, Argument und Betrag von

z

Element von

C :

z =

2^(-30)*(i-wurzel(3))^32

in der lösung wird gesagt, dass

(i-wurzel(3))^32

= {(2 \cdot e^{\frac{5}{6} \cdot π \cdot i})}^{32}

ist.
aber die umformung versteh ich nicht. kann mir jemand helfen?

vulpi aktiv_icon

12:18 Uhr, 08.02.2011

Hi,

z_{0} = - \sqrt{3} + i \cdot 1

| z_{0} | = 2

Arg

(z_{0}) = \frac{5}{6} π |

90°

+

arccos(0,5)=60° siehe Zahlenebene

P (- \sqrt{3} | 1)

Die polare Darstellung von

z_{0}

ist also

z_{0} = 2 (cos (\frac{5}{6} π) - i sin (\frac{5}{6} π))

Mit der Eulerschen Gleichung wird daraus dann

z_{0} = 2 e^{(\frac{5}{6} π) i}

was dann in toto noch mit

32

potenziert wird
lg

pabrelin aktiv_icon

12:38 Uhr, 08.02.2011

ist

| z | = {(x + y)}^{2}

oder

= {(x + i \cdot y)}^{2}

bisher dacht ich

x + y,

aber dann komme ich nicht auf die

2,

wenn ich nicht das

i

mit quadriere.

und wie kommst du auf die

\frac{5}{6},

geschweige denn die formel dahinter mit 90°etc
bzw woher ist die und wofür

vulpi aktiv_icon

13:36 Uhr, 08.02.2011

Hi,
eine komplexe Zahl entspricht einem Punkt in der Gauß'schen Zahlenebene.

z_{0},

die Basis, die potenziert werden soll (aber später) hat die
Rechteck-Koordinaten
Re(z_0)

= - \sqrt{3}

und Im(z_0)

= + 1

i - \sqrt{3} = - \sqrt{3} + 1 \cdot i

Der Betrag ist der Abstand zum Ursprung

\sqrt{{(- \sqrt{3})}^{2} + 1^{2}} = \sqrt{3 + 1} = 2

Um die Polarkoordinaten zu bekommen, braucht man noch den Winkel.
Am besten den Punkt im Koordinatensystem skizzieren.
Er liegt im 2. Quadranten
Also liegt

φ

zwischen 90° und 180°

Ich hab' mir die Lösung halt zusammengebastelt.
Der Restwinkel ab 90° beträgt, wenn man sich das Dreieck anguckt,
arccos(0,5) oder auch arctan

(\sqrt{3}) =

60°
Man kann auch von 180° zurückgehen, der Rest beträgt dann
arc

sin (0,5)

oder auch arctan(

\frac{1}{\sqrt{3}}) =

30°
Also ist der Winkel

90 + 60

oder

180 - 30 =

150°

für die Euler-Gleichung muß aber Bogenmaß verwendet werden.

150° sind

\frac{5}{6} π

z_{0}

ist also

- \sqrt{3} + i \cdot 1 |

kartesische Darstellung

x, y

2, \frac{5}{6} π |

Polar-Koordinaten

r

und

φ

2 (cos (\frac{5}{6} π) + i \cdot sin (\frac{5}{6} π)) |

trigonometrische Darstellung, da hat man sozusagen beides

2 e^{\frac{5}{6} π} |

exponentiale Darstellung Eulermäßig

lg

pabrelin aktiv_icon

15:00 Uhr, 08.02.2011

super vielen danke,
top erklärung danke

pabrelin aktiv_icon

14:15 Uhr, 10.02.2011

mir ist nun aufgefallen dass ich das ende der aufgabe nicht verstehe.
wir haben nun

(i - \sqrt{3})

(2 \cdot e^{\frac{5}{6} \cdot π \cdot i})

umgeformt, soweit alles klar.
aber die potenz

^32

stand da ja noch.
bei der aufgabe wird nun die

32

in die klammer gebracht:

2^{32} \cdot e^{\frac{160 \cdot π}{6} \cdot i},

soweit auch klar, nun wird das argument gekürzt

2^{32} \cdot e^{\frac{2 \cdot π}{3} \cdot i,}

das ist auch noch klar.
als nächstes steht in der lösung aber:

z = 4 \cdot e^{\frac{2 \cdot π}{3} \cdot i} = 4 (- \frac{1}{2} + \frac{i}{2} \cdot \sqrt{3})

nun kann man aus der aufgabe die gesuchten werte entnehmen:
Re(z)=

- 2

,Im(z)=

2 \cdot (\sqrt{3}),

Arg(z)

= \frac{2 \cdot π}{3}, | z | = 4

mir ist erstens nicht klar, wir man von

2^{32}

auf 4 kommt,und zweitens dann auf den klammer wert, der ja wieder der rückschritt von der euler-schreibweise auf die "normale"/andere schreibweise ist.
mit der formel
Re(z)

= z \cdot cos (φ)

und für Im das gleich mit

sin,

werden mir die ergebniswerte klar, aber wieso steht das in der klammer so wie es da steht, und wieso ist die 3 ausgeklammert..

ich hoffe die frage war nicht zu unübersichtlich.
vielen dank

vulpi aktiv_icon

15:04 Uhr, 10.02.2011

Hallo !

Siehe Aufgabe ganz oben !

diese

^32

Klabberadatsch ist ja nur ein TEIL von

z

da steht doch noch ein Faktor

2^{- 30} \Rightarrow 4

Trigonometrischer Zusammenhang:

e^{φ i} = cos φ + i sin φ

Also

4 e^{φ} = 4 (cos φ + i sin φ)

gruß

pabrelin aktiv_icon

18:30 Uhr, 10.02.2011

alles klar, vielen dank

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