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Umformungen erklären.

Schüler Gymnasium,

Tags: Äqrvivalenzumformungen, Umformen

 
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Olena

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10:16 Uhr, 02.10.2020

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Frage: Welche Reste kann eine Quadratzahl bei Division durch 11 lassen?
Lösung: Jede natürliche Zahl n besitzt eine Darstellung n=11q+r, mit or<11.
Dann ist n hoch2 =(11q+r)^2=11q^2+22q*r+r^2=(ab hier verstehe ich leider nicht) 11m+r hoch2=11k+s, wobei s der Rest von r hoch2 bei Division durch 11 ist.
Danke
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DrBoogie

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10:23 Uhr, 02.10.2020

Antworten
"11q^2+22q*r+r^2=(ab hier verstehe ich leider nicht) 11m+r hoch2=11k+s, wobei s der Rest von r hoch2 bei Division durch 11 ist."

Zuerst 11q2+22qr+r2=11(q2+2qr)+r2=11m+r2, wo m=q2+2qr gilt.
Dann wird r2 durch 11 mit Rest geteilt, es ergibt r2=11v+s mit irgendeinem v und mit dem Rest s.
Damit haben 11q2+22qr+r2=11(q2+2qr)+11v+s=11(q2+2qr+v)+s.
Und am Ende wird q2+2qr+v mit k bezeichnet, damit haben 11k+s.



Antwort
Mathe45

Mathe45

10:30 Uhr, 02.10.2020

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11q2 oder 112q2?
Antwort
DrBoogie

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10:32 Uhr, 02.10.2020

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Narütlich muss vorne 112q2 stehen. Entsprechend auch an anderen Stellen.
Olena

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10:39 Uhr, 02.10.2020

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Jetzt habe ich verstanden. Danke.
Olena

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10:40 Uhr, 02.10.2020

Antworten
121. Sorry mein Fehler.
PS Oh Gott, Ihr seid alle so klug hier.
Antwort
DrBoogie

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10:42 Uhr, 02.10.2020

Antworten
Klug? :-O
Ich bin halt Mathematiker. 30 Jahre Beschäftigung mit Mathe zahlen sich aus. :-)
Olena

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10:44 Uhr, 02.10.2020

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Wenn es möglich wäre, hätte ich gern einen Hinweis, wie ich eine Aufgabe lösen kann. Und vielleicht noch die Meinung bzg. der anderen Aufgaben. Ich bin sehr dankbar.
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DrBoogie

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10:53 Uhr, 02.10.2020

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Na, die Berechnung sagt doch, dass der quadratische Rest einer Zahl 11q+r bzgl. 11 genau der quadratische Rest von r bzgl. 11 ist. Dabei ist r eine Zahl von 0 bis 10. Diese 11 Zahlen muss man dann einzeln betrachten. Dabei kann man sich auf die Zahlen 0 bis 5 einschränken, denn k und 11-k haben denselben quadratischen Rest, denn (11-k)2=112-22k+k2=11(11-2k)+k2. Damit hat 6 denselben Rest wie 5, 7 denselben Rest wie 4 usw.

Jetzt reicht es einfach zu berechnen 02=0 mod 11, 12=1 mod 11, 22=4 mod 11, 32=9 mod 11, 42=5 mod 11, 52=3 mod 11.
Damit ist die Antwort: 0,1,3,4,5,9.
Olena

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11:07 Uhr, 02.10.2020

Antworten
Hier ist womit ich mich beschäftige...Bei der letzten Aufgabe weiß ich nicht, wie weiter geht.
Vielleicht kann jemand ein Buch empfehlen, damit ich mir den Überblick über Teilbarkeit, ggT und Euklidische Algorithmus verschärfen kann? Danke.

Hier sind meine Lösungen:

1
2
3
Antwort
DrBoogie

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11:49 Uhr, 02.10.2020

Antworten
Mann kann jede n in der Form 3m+l schreiben mit l{0,1,2} (Division durch 3 mit dem Rest).
Dann gilt n3+n2+1=27m3+27m2l+9ml2+l3+9m2+6ml+l2+1=l3+l2+1 mod 3.
Es bleibt l=0,1,2 zu betrachten. Bei l=0 haben 1 mod 3 und bei l=2 haben 8+4+1=1 mod 3. Und nur bei l=1 gilt l3+l2+1=0 mod 3.

Damit ist n3+n2+1 genau dann durch 3 teilbar, wenn n=3m+1 darstelbar ist.
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

11:55 Uhr, 02.10.2020

Antworten
Was deine Lösungen angeht, so sind sie sehr ausführlich (vielleicht zu sehr, aber im Zweifel besser mehr als weniger), nur manchmal musst du sauberer schreiben.
Z.B. in 3.1.a) wo du rechts schreibst "a und b einsetzen", da muss linkt nicht einfach x(aq1)+y(cq2) stehen, sondern xb+yc=x(aq1)+y(cq2), sonst ist nicht klar, woher dieser Ausdruck überhaupt kommt und wofür er dort steht. In 3.1. b) hast du das dann richtig gemacht.

Ich würde auch Zeichen => nicht so oft nutzen und besser da ein oder zwei "normale" Worte schreiben. Denn => bedeutet eigentlich "daraus folgt", was bei dir nicht immer der Fall ist.
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

12:00 Uhr, 02.10.2020

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Ein Buch kenne ich nicht. Aber es gibt viele Skripte online.
Zum Thema "Modulare Arithmetik" z.B.
http://www.mathematik.uni-kassel.de/~koepf/ElAriAl/modular.pdf
http://www.gm.fh-koeln.de/~konen/DisMa/DisMa-Kap1.pdf

Olena

Olena aktiv_icon

13:54 Uhr, 02.10.2020

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Danke für Ihre Antwort. Ich bezweifele noch, wie ich in der Aufgabe 3.2c) die Zahl 2923 hoch 11mod23 behandelt habe. Ich habe in einem Lehrbuch die Rechenregel für das (modn) gelesen und ich habe die so interpretiert: a=b(modm)-a hoch n=b hoch n(modm) und daher habe ich beim Rechnen die Potenzen überhaupt nicht berücksichtig. Aber ich denke, dass es komplett falsch ist.
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HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

14:08 Uhr, 02.10.2020

Antworten
Was DrBoogie anhand des Polynoms f(n)=n3+n2+1 vorgerechnet hat gilt generell für ALLE Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten:

Aus nl mod m folgt da stets f(n)f(l) mod m, d.h., man hat eine m-Periodizität der Reste f(n) mod m vorliegen. Insofern genügt zur Analyse dieser Reste f(n) mod m für alle ganzen Zahlen n bei solchen Polynomen f die Bestimmung der Reste f(l) mod m für l=0,1,,m-1.
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DrBoogie

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14:09 Uhr, 02.10.2020

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Diese Lösung verstehe ich nicht.

Im Endeffekt geht es nur darum, 292311 mod 23 zu berechnen.
Das würde ich auch direkt machen.
Zuerst 2923=2300+623=2300+2302+163=2300+2302+237+2=2 mod 23.
Damit gilt 292311=211 mod 23.
Aber 25=32=9 mod 23, daher 211=22525=292 mod 23 und das ist gleich 281=212=24=1 mod 23.
Damit ist eine Lösung 1 und die zweite natürlich 1-23=-22.

Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

14:14 Uhr, 02.10.2020

Antworten
Einen kleinen Teil der Begründung kann man auch so variieren:

Aus 2923225=52 mod 23 folgt 292311(52)11=5221 mod 23, letzteres gemäß Kleinem Fermat. :-)

Frage beantwortet
Olena

Olena aktiv_icon

10:20 Uhr, 12.10.2020

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Danke;-)