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Umformungen erklären.

Schüler Gymnasium,

Tags: Äqrvivalenzumformungen, Umformen

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10:16 Uhr, 02.10.2020

Frage: Welche Reste kann eine Quadratzahl bei Division durch

11

lassen?
Lösung: Jede natürliche Zahl

n

besitzt eine Darstellung

n = 11 q + r,

mit

o \leq r < 11

.
Dann ist

n

hoch2 =(11q+r)^2=11q^2+22q*r+r^2=(ab hier verstehe ich leider nicht)

11 m + r

hoch2=11k+s, wobei

s

der Rest von

r

hoch2 bei Division durch

11

ist.
Danke

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10:23 Uhr, 02.10.2020

"11q^2+22q*r+r^2=(ab hier verstehe ich leider nicht) 11m+r hoch2=11k+s, wobei s der Rest von r hoch2 bei Division durch 11 ist."

Zuerst

11 q^{2} + 22 q r + r^{2} = 11 (q^{2} + 2 q r) + r^{2} = 11 m + r^{2}

, wo

m = q^{2} + 2 q r

gilt.
Dann wird

r^{2}

durch

11

mit Rest geteilt, es ergibt

r^{2} = 11 v + s

mit irgendeinem

v

und mit dem Rest

s

.
Damit haben

11 q^{2} + 22 q r + r^{2} = 11 (q^{2} + 2 q r) + 11 v + s = 11 (q^{2} + 2 q r + v) + s

.
Und am Ende wird

q^{2} + 2 q r + v

mit

k

bezeichnet, damit haben

11 k + s

Mathe45

10:30 Uhr, 02.10.2020

11 \cdot q^{2}

oder

11^{2} \cdot q^{2}

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10:32 Uhr, 02.10.2020

Narütlich muss vorne

1 1^{2} q^{2}

stehen. Entsprechend auch an anderen Stellen.

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10:39 Uhr, 02.10.2020

Jetzt habe ich verstanden. Danke.

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10:40 Uhr, 02.10.2020

121

. Sorry mein Fehler.
PS Oh Gott, Ihr seid alle so klug hier.

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10:42 Uhr, 02.10.2020

Klug? :-O
Ich bin halt Mathematiker. 30 Jahre Beschäftigung mit Mathe zahlen sich aus. :-)

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10:44 Uhr, 02.10.2020

Wenn es möglich wäre, hätte ich gern einen Hinweis, wie ich eine Aufgabe lösen kann. Und vielleicht noch die Meinung bzg. der anderen Aufgaben. Ich bin sehr dankbar.

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10:53 Uhr, 02.10.2020

Na, die Berechnung sagt doch, dass der quadratische Rest einer Zahl

11 q + r

bzgl.

11

genau der quadratische Rest von

r

bzgl.

11

ist. Dabei ist

r

eine Zahl von

0

bis

10

. Diese

11

Zahlen muss man dann einzeln betrachten. Dabei kann man sich auf die Zahlen

0

bis

5

einschränken, denn

k

und

11 - k

haben denselben quadratischen Rest, denn

(11 - k)^{2} = 1 1^{2} - 22 k + k^{2} = 11 (11 - 2 k) + k^{2}

. Damit hat

6

denselben Rest wie

5

7

denselben Rest wie

4

usw.

Jetzt reicht es einfach zu berechnen

0^{2} = 0

mod

11

1^{2} = 1

mod

11

2^{2} = 4

mod

11

3^{2} = 9

mod

11

4^{2} = 5

mod

11

5^{2} = 3

mod

11

.
Damit ist die Antwort:

0, 1, 3, 4, 5, 9

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11:07 Uhr, 02.10.2020

Hier ist womit ich mich beschäftige...Bei der letzten Aufgabe weiß ich nicht, wie weiter geht.
Vielleicht kann jemand ein Buch empfehlen, damit ich mir den Überblick über Teilbarkeit, ggT und Euklidische Algorithmus verschärfen kann? Danke.

Hier sind meine Lösungen:

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11:49 Uhr, 02.10.2020

Mann kann jede

n

in der Form

3 m + l

schreiben mit

l \in {0, 1, 2}

(Division durch

3

mit dem Rest).
Dann gilt

n^{3} + n^{2} + 1 = 27 m^{3} + 27 m^{2} l + 9 m l^{2} + l^{3} + 9 m^{2} + 6 m l + l^{2} + 1 = l^{3} + l^{2} + 1

mod

3

.
Es bleibt

l = 0, 1, 2

zu betrachten. Bei

l = 0

haben

1

mod

3

und bei

l = 2

haben

8 + 4 + 1 = 1

mod

3

. Und nur bei

l = 1

gilt

l^{3} + l^{2} + 1 = 0

mod

3

.

Damit ist

n^{3} + n^{2} + 1

genau dann durch

3

teilbar, wenn

n = 3 m + 1

darstelbar ist.

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11:55 Uhr, 02.10.2020

Was deine Lösungen angeht, so sind sie sehr ausführlich (vielleicht zu sehr, aber im Zweifel besser mehr als weniger), nur manchmal musst du sauberer schreiben.
Z.B. in 3.1.a) wo du rechts schreibst "a und b einsetzen", da muss linkt nicht einfach

x (a q_{1}) + y (c q_{2})

stehen, sondern

x b + y c = x (a q_{1}) + y (c q_{2})

, sonst ist nicht klar, woher dieser Ausdruck überhaupt kommt und wofür er dort steht. In 3.1. b) hast du das dann richtig gemacht.

Ich würde auch Zeichen => nicht so oft nutzen und besser da ein oder zwei "normale" Worte schreiben. Denn => bedeutet eigentlich "daraus folgt", was bei dir nicht immer der Fall ist.

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12:00 Uhr, 02.10.2020

Ein Buch kenne ich nicht. Aber es gibt viele Skripte online.
Zum Thema "Modulare Arithmetik" z.B.
http://www.mathematik.uni-kassel.de/~koepf/ElAriAl/modular.pdf
http://www.gm.fh-koeln.de/~konen/DisMa/DisMa-Kap1.pdf

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13:54 Uhr, 02.10.2020

Danke für Ihre Antwort. Ich bezweifele noch, wie ich in der Aufgabe

3.2 c)

die Zahl

2923

hoch

11 mod 23

behandelt habe. Ich habe in einem Lehrbuch die Rechenregel für das

(mod n)

gelesen und ich habe die so interpretiert:

a = b (mod m) - \to a

hoch

n = b

hoch

n (mod m)

und daher habe ich beim Rechnen die Potenzen überhaupt nicht berücksichtig. Aber ich denke, dass es komplett falsch ist.

HAL9000

14:08 Uhr, 02.10.2020

Was DrBoogie anhand des Polynoms

f (n) = n^{3} + n^{2} + 1

vorgerechnet hat gilt generell für ALLE Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten:

Aus

n \equiv l mod m

folgt da stets

f (n) \equiv f (l) mod m

, d.h., man hat eine

m

-Periodizität der Reste

f (n) mod m

vorliegen. Insofern genügt zur Analyse dieser Reste

f (n) mod m

für alle ganzen Zahlen

n

bei solchen Polynomen

f

die Bestimmung der Reste

f (l) mod m

für

l = 0, 1, \dots, m - 1

DrBoogie aktiv_icon

14:09 Uhr, 02.10.2020

Diese Lösung verstehe ich nicht.

Im Endeffekt geht es nur darum,

292 3^{11}

mod

23

zu berechnen.
Das würde ich auch direkt machen.
Zuerst

2923 = 2300 + 623 = 2300 + 230 \cdot 2 + 163 = 2300 + 230 \cdot 2 + 23 \cdot 7 + 2 = 2

mod

23

.
Damit gilt

292 3^{11} = 2^{11}

mod

23

.
Aber

2^{5} = 32 = 9

mod

23

, daher

2^{11} = 2 \cdot 2^{5} \cdot 2^{5} = 2 \cdot 9^{2}

mod

23

und das ist gleich

2 \cdot 81 = 2 \cdot 12 = 24 = 1

mod

23

.
Damit ist eine Lösung

1

und die zweite natürlich

1 - 23 = - 22

HAL9000

14:14 Uhr, 02.10.2020

Einen kleinen Teil der Begründung kann man auch so variieren:

Aus

2923 \equiv 2 \equiv 25 = 5^{2} mod 23

folgt

292 3^{11} \equiv {(5^{2})}^{11} = 5^{22} \equiv 1 mod 23

, letzteres gemäß Kleinem Fermat. :-)

Olena aktiv_icon

10:20 Uhr, 12.10.2020

Danke;-)

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