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Umgang mit Integrationskonstanten bei DGLn

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen, Integrationskonstanten

Buzzy aktiv_icon

12:00 Uhr, 26.06.2019

Hallo,

wie behandel ich Integrationskonstanten beim lösen einer gewöhnlichen DGL? Kann ich sie erstmal ignorieren und dann mein Endergebnis mit einem Wert

z . B

y_{0}

multiplizieren?
In meinem Übungsbuch wird das bei einigen Aufgaben gemacht, bei anderen werden die Integrationskonstanten "mitgeschleppt". Ich poste hier mal zur Anschaulichkeit zwei Aufgaben und die Ergebnisse dazu, meine Frage bezieht sich aber auf die allgemeine Vorgehensweise.

a) y' = - λ y

\Rightarrow y = y_{0} e^{- λ} x

mit Integrationskonstante

y_{0}

b) y' =

(4x+xy)*y

\Rightarrow y = \frac{16 C_{3} \cdot e^{2 x^{2}}}{1 - 4 C_{3} \cdot e^{2 x^{2}}}

mit Integrationskonstane

C_{3}

.

Ich würde sagen es ist egal ob man die Integrationskonstanten mitschleppt oder zum Schluss seine Lösung mit einer Variablen multipliziert, bin mir aber nicht sicher.

Freue mich über Hilfe

Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Respon

12:24 Uhr, 26.06.2019

Hast du dir schon angeschaut, wie

z . B

. bei deinem ersten Beispiel die Konstante entsteht bzw. wie sie dann "weiterverarbeitet" wird.
Gehe einmal das erste Beispiel Schritt für Schritt durch.

ledum aktiv_icon

12:32 Uhr, 26.06.2019

Hallo
im allgemeinen ist es besser mit der allgemeinen Integrationskonstant zu rechnen. bei deiner 1. Gleichung gehört eigentlich dazu Anfangsbedingung

y (0) = y_{0}

hätte man

y (1) = y_{0}

wäre das

y_{0}

falsch.
also hast du im ersten Fall mit

y = C \cdot e^{- λ \cdot T}

durch einsetzen von

y (0) = y_{o} C = y_{0}

im zweiten Fall mit derselben Anfangsbedingung

y_{0} = 16 \frac{C}{1 - 4 C}

und musst

C

daraus bestimmen, Zum Schluss seine Losung mit "einer Variablen" zu multiplizieren ist fast immer falsch,
Gruß lul

Buzzy aktiv_icon

12:58 Uhr, 26.06.2019

Erstmal Danke für eure Antworten.

Kann es sein dass man die Umformung bei der ersten Gleichung machen kann weil die Integrationskonstante wirklich nur irgendein Wert unabhängig von

x

ist?
Bei der zweiten Gleichung steht die Integrationskonstante mit in der e-Funktion, die auch von

x

abhängig ist.

Ist das der Unterschied?

LG

Edit: hab gerade gemerkt, dass es daran wohl doch nicht liegen kann. sehe irgendwie keinen unterschied

\frac{:}{}

rundblick aktiv_icon

13:24 Uhr, 26.06.2019

.
"Bei der zweiten Gleichung steht die Integrationskonstante mit in der e-Funktion"

wie kommst du denn auf diese komische Aussage?

wenn du bei der zweiten - wie oben vorgeschlagen - die allgemeine Lösung MIT der
allgemeinen Integrationskonstanten

\to c \in ℝ

notierst, dann sieht das so aus

\to

y = \frac{4 c \cdot e^{2 x^{2}}}{1 - c \cdot e^{2 x^{2}}}

und falls du nun noch irgendeine Anfangsbedingung gegeben hast

, (

zB:

y (0) = 1),

dann kannst du (Tipp also: erst jetzt

!!)

das dazu passende

c

berechnen

(c = \frac{1}{5}) .

.
also: mit

y (0) = 1

erhältst du die Lösung

\to y = \frac{4 \cdot e^{2 x^{2}}}{5 - e^{2 x^{2}}}

fertig.
.

Buzzy aktiv_icon

08:43 Uhr, 27.06.2019

Die Bestimmung der Integrationskonstante ist kein Problem, ich weiß nur nicht genau wann man sie mit dazu schreibt und wann nicht. Bei manchen Aufgaben nimmt man sie mit, fässt sie mit anderen Konstanten zusammen und bei anderen Aufgaben wird sie erstmal weggelassen und kommt dann später dazu.
ledum hatte ja geschrieben dass es im allgemeinen besser ist mit der Integrationskonstante zu rechnen. Ich sehe nur nicht warum das in den Lösungen von Aufgaben so oft nicht gemacht wird, kann mir das jemand ein bisschen genauer erklären?

LG

HAL9000

10:02 Uhr, 27.06.2019

> ich weiß nur nicht genau wann man sie mit dazu schreibt und wann nicht.

Da gibt es doch nichts herumzurätseln, das ist eine ganz einfache Regel: Sie fällt an UNMITTELBAR bei der Integration, und dort dann additiv, VOR jeglichen danach stattfindenden Gleichungsumformungen. (*)

Alles anderes ist Murks. Dass man irgendwann dann derartige Konstanten evtl. zusammenfassen kann, bzw. eine Reparametrisierung das ganze optisch gefälliger macht, steht auf einem ganz anderen Blatt.

Am Beispiel deiner ersten Gleichung

y' = - λ y

:

Umformung

\frac{y'}{y} = - λ

ergibt eine DGL mit trennbaren Variablen, das führt zum Integral

\int \frac{1}{y} d y = \int (- λ) d x

, ausgewertet

\ln ∣ y ∣ = - λ x + C

∣ y ∣ = e^{- λ x + C} = e^{C} \cdot e^{- λ x}

Die Betragsauflösung ergibt jetzt noch zwei mögliche Vorzeichenvarianten, d.h.

y = \pm e^{C} \cdot e^{- λ x}

.

Mit

C \in ℝ

durchläuft

e^{C}

die positiven reellen Zahlen, zusammen mit dem

\pm

durchläuft

\pm e^{C}

alle reellen Zahlen außer Null. Eine Reparametrisierung

C_{1} := \pm e^{C}

ergibt somit die allgemeine Lösung

y = C_{1} \cdot e^{- λ x}

. Es stellt sich zudem heraus, dass auch

C_{1} = 0

zu einer DGL-Lösung führt, nämlich

y = 0

(die hatten wir oben bereits im ersten Umformungsschritt

\frac{y'}{y} = - λ

"verhindert", was genau genommen eine Schludrigkeit war - der Extrafall

y = 0

hätte gleich mit auf die Agenda gehört!).

Über eine Anfangsbedingung wie etwas

y (0) = y_{0}

kann man dann diese Konstante bestimmen als

C_{1} = y_{0}

, was dann zu dem von dir erwähnten

y = y_{0} e^{λ x}

führt. D.h., das

y_{0}

ist nicht in die Lösung reingekommen als "nachträglich" einfach willkürlich als Faktor drangeflanschtes Etwas, sondern mittelbar durch die klare Regel (*). Und wenn du derart konsequent vorgehst, dann musst du dir auch keine bekloppten Ausnahmeregeln einpauken, wann wer wie wo was für Integrationskonstanten nachträglich in die Formeln einzubringen sind.

> bei anderen Aufgaben wird sie erstmal weggelassen und kommt dann später dazu.

Ganz, ganz schlechte Idee - lass das sein.

Buzzy aktiv_icon

10:34 Uhr, 27.06.2019

Okay, werde sie jetzt erstmal immer mit hinschreiben und wenn möglich zusammenfassen. Dankeschön!

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