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Umkehrabbildung Kugelkoordinaten

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Funktionen

Tags: Funktion, Kugelkoordinaten, umkehrabbildung

Meyer5000 aktiv_icon

12:59 Uhr, 06.06.2021

Φ_{K} : (0, \infty) \times (- π, π] \times (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}) \to ℝ^{3} \ {(0,0, z) | z \in ℝ}

mit

Φ_{K} (r, a, b) = (\begin{matrix} r \cdot cos (a) \cdot cos (b) \\ r \cdot sin (a) \cdot cos (b) \\ r \cdot sin (b) \end{matrix})

seien die Kugelkoordinaten.

Nun soll ich zeigen, dass

Φ_{K}^{- 1}

die Umkehrabbildung von

Φ_{K}

ist.

Φ_{K}^{- 1} : ℝ^{3} \ {(0,0, z) | z \in ℝ} \to (0, \infty) \times (- π, π] \times (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})

Φ_{K}^{- 1} (x, y, z) = (\begin{matrix} \sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} \\ a r g (x, y) \\ a r c s i n (\frac{z}{\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}}}) \end{matrix})

Leider bin ich hiermit total überfragt... Kann mir wer dabei ein wenig auf die Sprünge helfen? Würde mich sehr freuen!

Gruß,
Sebastian Meyer

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

N8eule

15:53 Uhr, 06.06.2021

Hallo
Der Aufgabentext beschreibt die Definition eines sphärischen Koordinatensystems, oder auch 'Kugelkoordinaten' wie du schon selbst geschrieben hast.
Wenn du willst, kannst du gerne mal unter diesen Begriffen auch im Internet suchen. Da findest du unzählige Abbildungen und anschauliche Erläuterungen dazu.

Prinzipiell kurz:
Du kannst jeden Punkt im 3-dimensionalen Raum nicht nur karthesisch durch

x, y, z -

Koordinaten beschreiben, sondern durch Radius und zwei Winkel.

Ferner solltest du aus dem Aufgabentext lesen können, dass die Definition lautet:

(\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) = (\begin{matrix} r \cdot cos (a) \cdot cos (b) \\ r \cdot sin (a) \cdot cos (b) \\ r \cdot sin (b) \end{matrix})

Also schlichtweg: drei Gleichungen für drei Unbekannte.

Aufgabe ist, hieraus die Umkehrabbildung zu ermitteln, also dieses Gleichungssystem nach

(\begin{matrix} r \\ a \\ b \end{matrix}) = (\begin{matrix} f (x, y, z) \\ f (x, y, z) \\ f (x, y, z) \end{matrix})

umzustellen.
Die Lösung zur Kontrolle hast du ja schon...
Viel Erfolg!

PS:
Du schreibst "arg(x,y)" .
Was soll das sein?
Ich vermute, es wird der arctan(y/x) sein.

Meyer5000 aktiv_icon

16:51 Uhr, 06.06.2021

Ok, danke für die Hilfe. Genau,

a r g (x, y)

ist

a r c t a n (\frac{y}{x})

pwmeyer aktiv_icon

19:55 Uhr, 06.06.2021

Das letztere glaube ich nicht.

Vielmehr dürfte es sich bei arg(x,y) um den Winkel handeln, der zu Polarkoordinatendarstellung von

(x, y)

benötigt wird.

Gruß pwm

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