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Umkehrabbildung eines Isomorphismus

Universität / Fachhochschule

Ringe

Tags: chinesischer Restsatz, Ring, umkehrabbildung

 
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mathepencil

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15:35 Uhr, 23.01.2024

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Hallo,

ich möchte eine Umkehrabbildung zum Isomorphismus

ℤ2022→ℤ2×ℤ3×ℤ337

bestimmen.

Ich weiß, dass die obige Abbildung aufgrund des chinesischen Restsatzes gilt.

Nun ist in der Lösung die Umkehrabbildung gegeben mit den Elementen

(x,y,z)↦(1011x+1348y+1686z).


Wie komme ich darauf?



Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Online-Nachhilfe in Mathematik
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michaL

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19:27 Uhr, 23.01.2024

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Hallo,

nun betrachte doch einmal den gegebenen Term mod 2 bzw. mod bzw. mod 337.
Dir sollte auffallen, dass
1011x+1348y+1686z≡x mod 2,
1011x+1348y+1686z≡y mod 3 und
1011x+1348y+1686z≡z mod 337 gelten.

Heißt:
* Die Zahl a=1011 ist so gewählt, dass a≡1 mod 2, a≡0 mod 3 und a≡0 mod 337 gelten.
* Die Zahl b=1348 ist so gewählt, dass b≡0 mod 2, b≡1 mod 3 und b≡0 mod 337 gelten.
* Die Zahl c=1686 ist so gewählt, dass c≡0 mod 2, c≡0 mod 3 und c≡1 mod 337 gelten.

Dies sind drei (unabhängige) simultane Kongruenzen, die mit dem chinesischen Restsatz leicht machbar sind.
Insbesondere wegen der beiden gleichen Reste, ist eine der beiden Zusammenfassungen jeweils total einfach!
Die Lösungen sind natürlich nicht eindeutig, wenn man beliebige ganze Zahlen betrachtet. mod 2022 könnte sich dann aber doch wieder Eindeutigkeit ergeben. (Darüber habe ich noch nicht weiter nachgedacht.)

Mfg Michael
Frage beantwortet
mathepencil

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08:22 Uhr, 24.01.2024

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Vielen Dank! Dann löse ich es mal anders rum mit den simultanen Kongruenzen, das klingt verständlich.
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michaL

michaL aktiv_icon

09:13 Uhr, 24.01.2024

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Hallo,

wenn es nur um eine Aufgabe geht, kann man etwa für a wie folgt argumentieren:
a≡0 mod 3 und mod 337 ist äquivalent zu a≡0 mod 1011=3⋅337
Nun muss noch a≡1 mod 2 eingearbeitet werden.
Glücklicherweise ist 1011 schon ungerade.

Also mal b: b≡0 mod 2 und mod 337 ist äquivalent zu b≡0 mod 674.
Nun noch b≡1 mod 3 einarbeiten.
Wegen 674≡2≠1 mod 3, müssen wir 674 mit 2 multiplizieren, da 2⋅2≡1 mod 3 gilt.
Daher nehmen wir also b=1348=2⋅674.

c geht dann entsprechend. Groß chin. Restsatz ist nicht unbedingt nötig.

Mfg Michael