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Umkehrabbildung im Automorphismus

Universität / Fachhochschule

Polynome

Tags: Automorphismus, polynom, umkehrabbildung

 
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niklas1997

niklas1997 aktiv_icon

14:30 Uhr, 26.05.2018

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Moin zusammen,

bei einem endlich dimensionalen Vektorraum V und dem Automorphismus f:VV soll ein Polynom q aus dem Polynomring K[t] existieren, bei dem gilt:

f-1=q(f)

Wie geht man da beim Beweis vor? Mit dem charakteristischen Polynom und Cayley Hamilton bin ich leider nicht weit gekommen.
Würde mich freuen einen Tipp zu bekommen.

Vielen Dank schon mal!



Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

15:11 Uhr, 26.05.2018

Antworten
Der Raum der Automorphismen über V ist endlichdimensional, sagen wir mal mit der Dimension m, daher ist die Folge 1,f,f2,...fm linear abhängig, also gibt's ai mit a0+a1f+...+amfm=0. Wenn a00, haben dann f-1=1a0(-a1-a2f-...-amfm-1).
niklas1997

niklas1997 aktiv_icon

10:17 Uhr, 27.05.2018

Antworten
Vielen Dank für die schnelle Antwort!
Wäre es im Falle von a0=0 nicht möglich oder gibt es dann andere Vorraussetzungen dass es dann doch gilt?
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

18:07 Uhr, 27.05.2018

Antworten
Wenn a0=0, dann gilt f(a1f+...)=0, was auf a1f+...=0 hinausläuft, denn f ist ein Isomorphismus.
Also a0=0 ist kein Hindernis.
Frage beantwortet
niklas1997

niklas1997 aktiv_icon

01:02 Uhr, 28.05.2018

Antworten
Alles klar vielen Dank!