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Hallo liebes Forum, Ich wäre sehr dankbar für Hilfe bei folgender Aufgabe: Es sei . Zeigen Sie, dass existiert und dass gilt. Hinweis: Um zu berechnen im Fall zeigen Sie ist symmetrisch, ist ein Eigenvektor von Jf(x) sowie jeder Vektor mit . Überlegen Sie sich, wie von hier die bestimmt werden kann. Ich bin mir sehr unsicher, wie ich das angehen soll. Soll ich für die Existenz der umkehrabbildung die Injektivität und Surjektivität dieser Funktion zeigen? Wie mache ich das bei einer Funktion mit Dimensionen? Oder könnte ich einfach argumentieren, dass, wenn die Determinante der Jacobi-Matrix ungleich 0 ist, die Matrix invertierbar und damit auch die Funktion invertierbar ist? Wie kann ich aber zeigen, dass die Jacobi-Determinanten ungleich null ist? Die Matrix habe ich schon berechnet, für die Determinante habe ich trotz Hinweis keinen richtigen Ansatz. Ich wäre dankbar für Hilfe und Denkanstöße! Liebe Grüße Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Was bedeutet der Term unter der Wurzel? verstehe ich nicht. |
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Vermutlich ist mit das gewöhnliche Skalarprodukt in gemeint, d.h. . Ich finde den Index 2 auch eher verwirrend und würde ihn weglassen. Wenn dem so ist, dann kann man hier die Umkehrfunktion doch auch ohne Jacobi-Gedöns direkt explizit bestimmen: Für folgt , umgestellt bzw. , und somit . Definiert man also als Funktion , dann kann man sowohl für alle als auch für alle nachweisen - damit ist die Existenz der Umkehrfunktion bewiesen, indem man einfach setzt. |
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Vielen Dank für die Antworten! Genau, mit ist das Standardskalarprodukt gemeint. Die Umkehrabbildung lässt sich so also doch trotz mehrerer Dimensionen gut bestimmen. Gute Idee, vielen Dank! Dennoch soll man ja auch die Jacobi-Determinante bestimmen. Zu zeigen, dass die Determinante symmetrisch ist, ist nicht schwer. Aber wie zeigt man, dass ein Eigenvektor ist? Was für eine Rolle spielt das für die Determinante? Als symmetrische Matrix müsste der Eigenvektor ja normiert sein, richtig? Wäre das Skalarprodukt in der Wurzel dann nicht und damit wäre der Ausdruck unter dem Bruch gleich Null? Ich bin etwas verwirrt... |
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Ich habe dein oben als offene (!) Einheitskugel verstanden, und in der ist , also nix mit . :( |
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