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Umkehrbarkeit einer mehrdimensionalen Funktion

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Funktionen

Tags: Determinant, Differentiation, Funktion, Jacobi Matrix, umkehrabbildung

 
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Cauchy-Schwarz

Cauchy-Schwarz aktiv_icon

15:56 Uhr, 04.07.2024

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Hallo liebes Forum,

Ich wäre sehr dankbar für Hilfe bei folgender Aufgabe:

Es sei f:B1(0)NN,f(x)=x1-<x,x>2. Zeigen Sie, dass f-1 existiert und dass det(Jf(x))0 gilt.

Hinweis: Um det(Jf(x)) zu berechnen im Fall x=0, zeigen Sie Jf(x) ist symmetrisch, x ist ein Eigenvektor von Jf(x) sowie jeder Vektor vN mit <v,x>2=0. Überlegen Sie sich, wie von hier die det(Jf(x)) bestimmt werden kann.

Ich bin mir sehr unsicher, wie ich das angehen soll. Soll ich für die Existenz der umkehrabbildung die Injektivität und Surjektivität dieser Funktion zeigen? Wie mache ich das bei einer Funktion mit n Dimensionen? Oder könnte ich einfach argumentieren, dass, wenn die Determinante der Jacobi-Matrix ungleich 0 ist, die Matrix invertierbar und damit auch die Funktion invertierbar ist?
Wie kann ich aber zeigen, dass die Jacobi-Determinanten ungleich null ist? Die Matrix habe ich schon berechnet, für die Determinante habe ich trotz Hinweis keinen richtigen Ansatz. Ich wäre dankbar für Hilfe und Denkanstöße!

Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

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KL700

KL700 aktiv_icon

17:14 Uhr, 04.07.2024

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Was bedeutet der Term unter der Wurzel? <x,x>2 verstehe ich nicht.
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HAL9000

HAL9000

17:25 Uhr, 04.07.2024

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Vermutlich ist mit v,x2 das gewöhnliche Skalarprodukt in N gemeint, d.h. v,x2=v1x1++vNxN. Ich finde den Index 2 auch eher verwirrend und würde ihn weglassen.


Wenn dem so ist, dann kann man hier die Umkehrfunktion doch auch ohne Jacobi-Gedöns direkt explizit bestimmen:

Für y=x1-x,x folgt y,y=x,x1-x,x, umgestellt x,x=y,y1+y,y bzw. 1-x,x=11+y,y , und somit x=y1-x,x=y1+y,y.

Definiert man also g(y):=y1+y,y als Funktion g:NB1(0), dann kann man sowohl g(f(x))=x für alle xB1(0) als auch f(g(y))=y für alle yN nachweisen - damit ist die Existenz der Umkehrfunktion bewiesen, indem man einfach f-1=g setzt.

Cauchy-Schwarz

Cauchy-Schwarz aktiv_icon

17:57 Uhr, 04.07.2024

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Vielen Dank für die Antworten!

Genau, mit <x,x>2 ist das Standardskalarprodukt gemeint.

Die Umkehrabbildung lässt sich so also doch trotz mehrerer Dimensionen gut bestimmen. Gute Idee, vielen Dank!

Dennoch soll man ja auch die Jacobi-Determinante bestimmen. Zu zeigen, dass die Determinante symmetrisch ist, ist nicht schwer. Aber wie zeigt man, dass x ein Eigenvektor ist? Was für eine Rolle spielt das für die Determinante?
Als symmetrische Matrix müsste der Eigenvektor ja normiert sein, richtig? Wäre das Skalarprodukt in der Wurzel dann nicht <x,x>2=1 und damit wäre der Ausdruck unter dem Bruch gleich Null?

Ich bin etwas verwirrt...




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HAL9000

HAL9000

19:13 Uhr, 04.07.2024

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Ich habe dein B1(0) oben als offene (!) Einheitskugel verstanden, und in der ist x,x=x2<1, also nix mit =1. :(

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