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Umkehrfunktion

Schüler

Tags: Graph

 
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stinlein

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17:50 Uhr, 06.10.2021

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Lieber supporter!
Für heute noch eine letzte Hilfestellung von dir. Wäre schön, wenn du mir da noch helfen könntest. Da bin ich jetzt total durcheinander!
Aufgabe:
558c)f(x)=100-20.x
Ergebnis lt. Auflöser: x=5-y20


y=-20x+100
Damit k=-20 und d=100
Nun vertauschen der Variablen!
x=-20y+100
Daraus folgt: y=-x20+5
k=-120 und d=5
Ich habe einmal zusätzlich den Schnittpunkt errechnet und bekomme:
-20x+100=-x20+5
Daraus: x=1900399
S(4,76 und -1800)
Da tue ich mich mit Zeichnen schwer. Da kann etwas nicht stimmen!
Danke dir ganz herzlich für die Hilfe schon im Voraus!
stinlein



Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
Roman-22

Roman-22

18:03 Uhr, 06.10.2021

Antworten
Dein x-Wert für den Schnittpunkt des Graphen von f und ihrer Umkehrung ist schon richtig. Was du allerdings mit "und -1800" meinst ist unklar.
Es sollte einsichtig sein, dass der Schnittpunkt auf der ersten Mediane liegen muss und daher für seine Koordinaten x=y gilt.
Und ja, wenn zeichnen wirklich verlangt ist, ist das bei dieser Angabe tatsächlich ungünstig.

P.S.:1900399=10021
Antwort
supporter

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18:13 Uhr, 06.10.2021

Antworten
-20x+100=-x20+5|(-20)

400x-2000=x-100

399x=1900

x=1900300=193
stinlein

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18:17 Uhr, 06.10.2021

Antworten
Lieber Roman 22!
Danke für die Antwort.
Ich habe so gerechnet. y=-20x+100
Damit k=-20 und d=100
Dann habe ich die Variablen vertauscht: x=-20y+100 und dann erhalten:
y=-x20+5
Damit k=-120 und d=5
Als Zusatz habe ich mir vorgestellt, ich rechne einmal den Schnittpunkt beider Geraden aus, indem ich diese gegenüberstelle.
-20x+100=-x20+5
und damit erhalte ich für x den Wert 1900399= ca. 4,76
Also ist auch y=4,76


Danke für eine weitere Unterstützung. DANKE!
stinlein
Antwort
Roman-22

Roman-22

18:19 Uhr, 06.10.2021

Antworten
Ja, deine Rechnung war schon richtig, nur, falls du mit mit -1800 die y-Koordinate des Schnittpunkts gemeint haben solltest, dann hast du da offenbar im letzten Schritt einen gröberen Fehler eingebaut.
supporters Beitrag solltest du ignorieren. Ich nehme an, dass dir sein Fehler (399300) ohnedies auch schon selbst aufgefallen ist.
B
stinlein

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18:20 Uhr, 06.10.2021

Antworten
Lieber supporter!
Könnte es sein,dass dir beim letzten Teil ein Tippfehlr unterlaufen ist?
Ich habe ja auch -399x=-1900
Damit x=1900399
x=4,76...
Danke dir ganz herzlich für deine Hilfe und fürs Mitrechnen!
stinlein


Antwort
supporter

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18:26 Uhr, 06.10.2021

Antworten
Ja, ich habe mich vertippt. Sorry. :-)
Frage beantwortet
stinlein

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18:27 Uhr, 06.10.2021

Antworten
Lieber supporter!
Lieber Roman 22!
Ich bedanke mich ganz herzlich für die Hilfe. Ich werde jetzt selber versuchen eine Zeichnung anzufertigen. Sehe schon - ein bißchen schwierig wegen der kleinen k-Werte. Ich sage vielen lieben Dank für die Zeit, die ihr für mich aufgebracht habt. Danke Roman 22 für die Graphik, das ist mir sicher eine große Hilfe.
Liebe Grüße
stilein
stinlein

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18:34 Uhr, 06.10.2021

Antworten
Lieber supporter!
Das kann jedem passieren. Ich sehe aber, dass meine Frage noch nicht beantwortet ist, ob mein Ergebnis x=-20y+100 richtig oder falsch ist. Im Auflöser steht als Lösung:
Die Umkehrfunktion lautet: x=5-y20

Zu dieser Lösung bin ich ja noch nicht gekommen. Erbitte deshalb nochmals Hilfe!
Als Zusatz bei diesen Aufgaben steht: Begründen Sie, warum das Zeichnen der Graphen nicht immer möglich ist. Wahrscheinlich betrifft das eben die Nr. c- eben diese Aufgabe. Da wäre wahrscheinlich die Antwort die Steigungswerte sind zu klein, oder?
DANKE!
Vielleicht ist noch jemand on-line, der mir die Frage beantworten kann, ich wäre sehr dankbar. Supporter und Roman 22 scheinen im Moment nicht verfügbar zu sein leider!
stinlein

Antwort
Roman-22

Roman-22

04:56 Uhr, 07.10.2021

Antworten
> Ergebnis lt. Auflöser: x=5-y20
Naja, grundsätzlich ist es ja egal, wie man abhängige und unabhängige Variable nennt und so kann man zB auch a(b):=5-b20 als Umkehrung von y(x):=100-20x bezeichnen.
So gesehen ist die angegebene "Lösung" auch richtig.
Üblicherweise und vor allem, wenn man die Graphen der Funktion und ihrer Umkehrung gemeinsam in einem Koordinatensystem einzeichnen möchte, wird man aber für die Umkehrung erst x und y vertauschen und dann nach y auflösen (oder erst nach x auflösen und dann vertauschen. Also so vorgehen, wie du es ohnedies richtig gemacht hast.
Im Übrigen sollte man immer deutlich machen, was die unabhängige und was die abhängige Variable ist. Nur weil eine Gleichung in zwei Variablen explizit nach einer aufgelöst ist, bedeutet das ja noch nicht zwangsläufig, dass die die abhängige Variable ist.
Die Schreibweise y(x)=... oder x(y)=.... schafft hier Klarheit.

Warum das Zeichnen des Graphen der Umkehrung nicht immer möglich sein soll erschließt sich mir nicht. Bei ungünstigen Werten kann man ja immer noch die Achsen unterschiedlich skalieren. Es ist nur so, dass die Umkehrung einer linearen Funktion nicht immer wiederum eine Funktion ist. Denke an die konstante Funktion y(x):=c mit c. Ihr Graph ist eine waagerechte Gerade und der Graph der Umkehrung daher eine senkrechte. Da gibts dann zu einem x-Wert unendlich viele zugeordnete y-Werte keine Funktion. Zeichnen lässt sich das Ding aber trotzdem immer.
Frage beantwortet
stinlein

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08:02 Uhr, 07.10.2021

Antworten
Lieber Roman 22!
Ich habe schon gespannt auf eine Antwort gewartet - danke, die ist jetzt angekommen.
Vielen Dank für die ausführliche Erklärung und die Erläuterungen dazu.
Der Satz am Schluss der Aufgabenstellung 558.a)b)c)d)e)... "Begründe, warum das nicht immer möglich ist! (gemeint war die graph. Darstellung) hat mich tatal überfordert.
Nochmals vielen Dank für die viele Zeit, die du für mich geopfert hast. Auf bald wieder!
stinlein


Antwort
Atlantik

Atlantik aktiv_icon

18:10 Uhr, 07.10.2021

Antworten
Es gibt noch einen Weg, um die Umkehrfunktion zu finden:

f(x)=10020x

Nullstelle:

10020x=0x=5

Schnitt mit der y-Achse:

f(0)=100

Allgemeine Form der Geraden:

xa+yb=1

a=5 und b=100

x5+y100=1( in roter Farbe)

Bei der Umkehrfunktion brauchst du nun nur noch a und b vertauschen:

x100+y5=1( grüner Farbe)

Graphen:





Unbenannt
Antwort
Roman-22

Roman-22

23:37 Uhr, 07.10.2021

Antworten
> "Begründe, warum das nicht immer möglich ist! (gemeint war die graph. Darstellung)
Das müsste man konkret in der Originalangabe sehen, denn vielleicht ist nicht die grafische Darstellung, sondern die sonst angewandte Berechnung von Anstieg und Ordinatenabschnitt der Umkehrung gemeint. Das ist im Falle eine konstanten Funktion (waagrechte Gerade) ja tatsächlich nicht möglich. Trotzdem kann man den Graph der Umkehrung (senkrechte Gerade) zeichnen. Beachte, dass ich die Bezeichnung Umkehrung verwendet habe und nicht Umkehrfunktion, denn die wäre in diesem Fall falsch.
stinlein

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09:11 Uhr, 11.10.2021

Antworten
Lieber Roman 22!

Hier nochmals die Originalaufgabe - siehe Nr. 558c)- und die Lösung vom Lösungsheft.
Die Graphik, die Atlantik mir geliefert hat, dürfte aber meiner Meinung nach schon stimmen, also kann die Lösung im Lösungsheft nicht richtig sein, oder?
Vielen lieben Dank und bitte um Entschuldigung für das nochmalige Lästigsein!
stinlein


P1230644
P1230645
Antwort
Roman-22

Roman-22

10:59 Uhr, 11.10.2021

Antworten
> Die Graphik, die Atlantik mir geliefert hat, dürfte aber meiner Meinung nach schon stimmen, also kann die Lösung im Lösungsheft nicht richtig sein, oder?

Ja, die Musterlösung zu Aufgabe c) ist Unfug. Da würde die erste Mediane ja durch den Punkt (4/40) verlaufen und aufgrund der unterschiedlichen Achsenskalierung wäre eine graphische Spiegelung auch nicht wie üblich durchführbar. Die Zeichnungen, die ich und später auch atlantik gepostetet haben sind richtig.
Die Musterlösung zu Aufgabe e), welche du so wie die Angabe zu c) gelb hinterlegt hast, ist aber richtig!? Wolltest du vl nicht eher die Lösung zu c) gelb markieren?

Jetzt, da die Aufgabe im Original vorliegt, ist jedenfalls auch klar, was mit der im letzten Satz verlangten Begründung gemeint ist. Es geht, wie oben schon vermutet, um die Aufgabe f). Da handelt es sich beim Graph um eine waagrechte Gerade und der Graph der Umkehrung ist daher eine Senkrechte. Da man die Kennwerte der Umkehrung aber laut Aufgabenstellung nur aus dem gespiegelten Graphen ablesen soll, bekommt man bei einer senkrechten Geraden natürlich Probleme, da weder Anstieg noch Ordinatenabschnitt endlich sind. Senkrechte Gerade sind ja solche, die sich einer Darstellung durch y=kx+d entziehen und die auch, wie oben schon erwähnt, nicht der Graph einer Funktion sind.

Anmerkung: Dass die Umkehrungen hier mit x=... angegeben werden finde ich, vor allem im Hinblick auf die nachstehenden Zeichnungen im x-y-Koordinatensystem, schlicht falsch.
So stellt etwa in Aufgabe b) die grün eingezeichnete Gerade (Umkehrung) NICHT den Graphen von x=2y+4 dar, sondern jenen von y=2x+4.

stinlein

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11:39 Uhr, 11.10.2021

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Lieber Roman22!
Vielen lieben Dank für diese einleuchtende Erklärung. Im Auflöser sind ja immer die x-Werte angegeben - während ich ja laut Musterbeispiel x und y vertausche.
Beispiel 558)b)
f(x)=x2-2
Funktion f(x):y=x2-2
1. Schritt Variable vertauschen:
2. Schritt. wieder auf y=.... bringen, also f-1=.....
Also:
x=12y-2
y2=x+2
f-1=y=2x+4
Im Auflöser steht wieder
x=2y+4
?????
Demnach würde ich da richtig liegen. Bitte noch um eine kurze Antwort mit ja oder nein.
DANKE für die Hilfe!
stinlein





Antwort
Roman-22

Roman-22

12:28 Uhr, 11.10.2021

Antworten
Wie früher schon geschrieben ist man bei der Wahl der Namen von unabhängiger und abhängiger Variabler frei und natürlich kann man auch

yx=2y+4

als Umkehrung von

xy=x2-2

ansehen.

Im Zusammenhang mit der Zeichnung, in der ja eindeutig festgelegt ist, wo x und y verortet sind, stellen aber sowohl y=x2-2, als auch x=2y+4 genau die gleiche Gerade dar, nämlich die blaue, mit G1 beschriftete.
Ich würde daher immer, spätestens aber im Zusammenhang mit der grafischen Darstellung beider Geraden im gleichen Koordinatensystem, so vorgehen, wie du das offenbar auch gewöhnt bist (ändern/vertauschen der Variablenbezeichnungen).

Aber wie in so vielen Threads hier gilt auch in diesem Fall: Es kommt nicht darauf, was ich oder andere Forenteilnehmer für richtig und sinnvoll halten. Der Schüler/Student hat sich an die Vorgaben und Definitionen seines Lehrers/Dozenten/Professors zu halten und diese anzuwenden. Und wenn der oder die meint, dass man die Gleichung der Umkehrung erhält, indem man die Gleichung einer Funktion nur explizit nach der unabhängigen Variablen auflöst ohne die Variablennamen zu ändern (tauschen), dann wird man es eben so machen.

Aus der Musterlösung geht auch nicht wirklich hervor, ob der Lösungsrechner tatsächlich meint, mit dem lapidaren x=2y+4 die Gleichung der Umkehrfunktion anzugeben. Aber man kann zweifellos auch an dieser Gleichung (die nur eine implizite Darstellung der ursprünglichen Funktion ist) Anstieg und Ordinatenabschnitt des Graphen der Umkehrung ablesen.
Frage beantwortet
stinlein

stinlein aktiv_icon

12:55 Uhr, 11.10.2021

Antworten
Lieber Roman 22!
Vielen lieben Dank für dieses Statement. DANKE! DANKE!
Du hast mir damit sehr geholfen!
stinlein