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Umkehrfunktion

Schüler

Tags: Step by Step

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21:04 Uhr, 02.08.2022

Ich hänge gerade an der Bildung einer Umkehrfunktion.

Könnte mir bitte jemand Schritt für Schritt das Bilden der Umkehrfunktion aus folgender Funktion darstellen:

f (x) = - 0,5 x^{2} + 2 x + 4

Vielen Dank :-)

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21:09 Uhr, 02.08.2022

oh, moment!

Mir fällt gerade auf: ne quadratische Funktion kann ja keine Umkehrfuntkion haben, oder?

Shity.

Ich wollte diese Aufgabe (link) einfach zu Übungszwecken "rückwärts" rechnen, aber das geht ja dann nicht und deshalb bekomm ich´s nicht hin, oder?

www.abiturloesung.de/abitur/2014/Infinitesimalrechnung/I/4350

Respon

22:33 Uhr, 02.08.2022

Beachte Definitions- bzw. Wertebereich.

Ausgangsfunktion

y = 2 - \sqrt{12 - 2 \cdot x}

D = (- \infty; 6]

W = (- \infty; 2]

Umkehrfunktion

y = - 0,5 \cdot x^{2} + 2 \cdot x + 4

mit

D = (- \infty; 2]

W = (- \infty; 6]

Formal nochmals "umgekehrt"

y = 2 \pm \sqrt{12 - 2 \cdot x}

Wegen der Definitionsmenge gilt aber nur

y = 2 - \sqrt{12 - 2 \cdot x}

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22:53 Uhr, 02.08.2022

Danke.

Könntest du mir die "Rückumkehrung" hier Zeile für Zeile reinschreiben, weil ich komme da auf keinen grünen Zweig. :-D)

Respon

23:02 Uhr, 02.08.2022

y = - 0,5 \cdot x^{2} + 2 \cdot x + 4

0,5 \cdot x^{2} - 2 \cdot x - 4 + y = 0

| \cdot 2

x^{2} - 4 \cdot x - 8 + 2 \cdot y = 0

x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{2^{2} - (- 8 + 2 \cdot y)}

x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{12 - 2 \cdot y}

x \Leftrightarrow y

y = 2 \pm \sqrt{12 - 2 \cdot x}

. .

. und wegen der Definitionsmenge

y = 2 - \sqrt{12 - 2 \cdot x}

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10:37 Uhr, 04.08.2022

Oh, das ist interessant.

Man kehrt also eine quadratische funktion mit der pq-Formel um, sehe ich das richtig?
Darauf wär ich nicht gekommen.

Um dazu mehr zu erfahren, nach was google ich da am besten? :-)

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11:12 Uhr, 04.08.2022

Du kannst auch

x

und

y

vertauschen un dann nach

y

auflösen.

x = - 0,5 y^{2} + 2 y + 4

0,5 y^{2} - 2 y - 4 + x = 0

y^{2} - 4 y - 8 + 2 x = 0

y_{1,2} = 2 \pm \sqrt{4 - (- 8 + 2 x)}

= 2 \pm \sqrt{- 2 x + 12}

de.serlo.org/mathe/26395/aufgaben-zur-umkehrfunktion

Atlantik aktiv_icon

18:42 Uhr, 04.08.2022

Weg über die quadratische Ergänzung:

y^{2}

−

4 y

−

8 + 2 x = 0 | + 8 - 2 x

y^{2}

−

4 y = 8 - 2 x

{(y - 2)}^{2} = 8 - 2 x + 4 = 12 - 2 x | \sqrt{}

1 .) y - 2 = \sqrt{12 - 2 x}

y = 2 + \sqrt{12 - 2 x}

2 .) y - 2 = - \sqrt{12 - 2 x}

y = 2 - \sqrt{12 - 2 x}

abakus

19:28 Uhr, 04.08.2022

Hallo Gurken,
um die bisher gelieferten unvollständigen Bruchstücke mal zusammenzufassen:
Du hast selbst erkannt, dass die Funktion f(x)=−0,5x²+2x+4
"im Stück" keine Umkehrfunktion besitzt.
Wenn du diese Funktion auf das Intervall [2;

\infty

) einschränkst, ist die Umkehrfunktion dieser eingeschränkten Funktion

y = 2 + \sqrt{12 - 2 x}

.
Wenn du die Funktion auf das Intervall (

- \infty

;2) (oder auch auf (

- \infty

;2] ) einschränkst, ist die Umkehrfunktion

y = 2 - \sqrt{12 - 2 x}

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23:46 Uhr, 05.08.2022

vielen Dank an alle, für die Hinweise :-)

Es hat sich ein diffuses Wabern an Erkenntnis eingestellt, ich stehe kurz vor dem Durchbruch.

Im Abitur habe ich zwar noch nie Funktionen gesehen, die nur in einem bestimmten Intervall umkehrbar wären, somit ist dies nur eine reine Gedankenübung, die aber doch einiges Erhellendes mit sich gebracht hat. :-)

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