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Umkehrfunktion
Schüler Fachschulen, 10. Klassenstufe
Tags: Algebra
 
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anonymous 16:56 Uhr, 25.03.2004  |
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Hallo, wie lautet die Umkehrfunktion zu f(x)=2x²+3 ? Warum? Danke |
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anonymous 17:14 Uhr, 25.03.2004 |
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Errechne die Umkehrfunktion durch Austausch der Variablen: -> x = 2y² +3 <-> x - 3 = 2y² <-> 0,5(x-3) = y² -> y = sqrt[ 0,5*(x-3) ] ist die Umkehrfunktion. |
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Hallo! Ich will zwar kein Spaßverderber sein, aber trotzdem ist dort offensichtlich ein Fehler. Zur Sache: Wenn es nicht Definitionsbereich einer Funktion f(x) gegeben ist, dann meinen wir immer den sgn. "Maximaldefinitionsbereich". Bei dieser, quadratischerFunktion, handelt es sich ohne Zweifel um alle reellen Zahlen. Weiter muss man dass in Betracht ziehen, dass nicht zu jeder rellen Funktion notwendig ihre Umkehrfunktionexistiert. Man kennt folgendes Kriterium der Existenz der Umkehrfunktion: Jede auf [a;b] streng monotone Funktion besitzt eine Umkehrfunktion! Unsere Funktion ist aber nicht streng monoton "überall" in R! D.h.: Es könnten mehrere Umkehrfunktionen existieren. Deine Funktion ist streng monoton in folgenden Intervalen: sinkt auf: (- oo; 0) =:A steigt auf [0; + oo) =:B. Wir definierten zwei Mengen: A, B. Die Umkehrfunktion der Funktion (immer die deine quadratische) auf A ist: wobei die Umkehrfunktion hinsichtlich der Menge B ist: Das Verfahren der Bestimmung der Umkehrfunktion bei Tom J. ist zwar richtig aber nicht vollständig und vor allem überhaupt nicht korrekt!!! Die Umkehrfunktion ist hier nicht eindeutig bestimmt und existier "nur" auf jeder Untermenge der Mengen A und B (oben definiert), bzw. noch auf gewissen Intervallen, die aus gewisser Kombination der Untermengen von A und B. Aber das sind doch die Kleinigkeiten, und darüber will ich hier nicht schreiben. Auf dem ganzen Definitionsbereich, also reelle Zahlen, existiert sie nicht!!! Viele Grüße und schönes Wochenende Marian |
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Hallo Marian, du hast schon Recht. Nur um alle Missverständnisse zu vermeiden, schreibe ich es nochmal ganz deutlich: f(x)=2x²+3 Betrachtet man f wie folgt (und definiert man A:=(-oo,0]:={x: x<=0} und B:=[0,oo):={x: x>=0}) (die 0 kann man übrigens ohne Probleme in A mit einbeziehen, deshalb tue ich das auch ;-)): f: A -> {f(x): x aus A}=[3,oo):={x: x >=3} so ist f eine Funktion von (-oo,0] nach [3,oo) und umkehrbar (weil f streng monoton fallend ist und die Stetigkeit spielt (hier) natürlich auch eine Rolle ;-)) mit der Umkehrfunktion:und die Umkehrfunktion ist eine Funktion, welche von [3,oo) nach A=(-oo,0] geht. D.h. in dem Ausdruck mit der Wurzel darf man nur x Werte einsetzen, für die gilt: x >=3 und die Ergebnisse, die man erhält, wenn man dies ausrechnest, sind stets <=0. Betrachtet man f: B -> {f(x):x aus B}=[3,oo) so lautet die zugehörige Umkehrfunktion:und diese Umkehrfunktion ist eine Funktion, welche von [3,oo) nach B=[0,oo) geht. D.h. in dem (letzten) Ausdruck mit der Wurzel darf man nur x Werte einsetzen, für die gilt: x >=3 und die Ergebnisse, die man (nun) erhält, wenn man dies ausrechnest, sind stets >=0. Deshalb ist es auch hier nicht sinnvoll gewesen, von der Umkehrfunktion zu sprechen. Wenn man f nämlich auf ganz IR betrachtet, so gilt für alle x aus IR: f(x)=f(-x) (insbesondere z.B.: f(-2)=f(2)) und damit ist die Funktion nicht injektiv (mit anderen Worten: nicht eineindeutig), und damit existiert eine solche schon gar nicht (auf ganz IR). Viel sinnvoller wäre es gewesen, die Aufgabe so zu stellen: Bestimme einen (möglichst großen) Definitionsbereich, auf dem f umkehrbar ist und gebe die zugehörige Umkehrfunktion an. Falls es mehrere solche Defintionsbereiche gibt, so bestimme "die größten" und gebe die dazugehörigen Umkehrfunktionen an. Das wäre zwar auch keine 100% exakte Formulierung, aber ich denke, sie wäre auf jeden Fall verständlicher... Bemerkung: Das Zeichen "<=" bzw. ">=" steht für "kleiner gleich" bzw. "größer gleich". Viele Grüße Marcel |
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anonymous 14:06 Uhr, 26.03.2004 |
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Jo, ihr habt natürlich absolut recht. Ich habe stillschweigend vorausgesetzt, daß nur Werte für x>=0 angenommen werden, wie dies in der Schule meist üblich ist. Ohne diese Einschränkung muß man natürlich untercheiden! |
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Hallo Tom, es ist natürlich von Schule zu Schule und von Lehrer/in zu Lehrer/in verschieden, wie man ein Thema handhabt. Aber soweit ich mich erinnere, hat unser Lehrer uns immer darauf hingewiesen, dass man immer darauf achten soll, wann, ob und warum man eine Funktion umkehren kann (bzw. nicht umkehren )... Wenn man absolut keine Ahnung hat, wie man an die Aufgabe gehen soll, soll man halt mal versuchen, den Graph zu zeichnen. Das kann (gerade in der Schule) oft nützlich sein (ist natürlich kein Beweis), zumindest, um zu "sehen", ob bzw. wo die Funktion umkehrbar ist. Außerdem geht bei dieser Funktion hier natürlich die Voraussetzung x >= 0 ohne Probleme, aber z.B. bei der Funktion f(x)=sin(x) müßte man das x ja ganz anders oder zumindest noch weiter eingrenzen, um die entsprechende Umkehrfunktion sinnvoll zu notieren. Aber ich denke, dass dir das eh klar ist. Das ist halt mal wieder so ein typisches Thema, wo manche(r) Lehrer/in es sich in der Schule einfach zu leicht macht. Andererseits soll die Schule ja auch nur die Grundlagen liefern. Und da muss man halt auswählen, was einem wichtig erscheint, und man muss sich ja auch noch an den Schulbüchern orientieren... Marians Beitrag sollte deinen, glaube ich, auch eher ergänzen... Was ich aber dennoch vermisst habe bei deiner Angabe der Umkehrfunktion: Das diese Umkehrfunktion nur für x>=3 Sinn macht, das sollte man auf jeden Fall irgendwo dazuschreiben... Also: Unter Toms Annahme: f(x)=2x²+3 (für x>=0) hat als Umkehrfunktion (I) y = sqrt[ 0,5*(x-3) ] (wobei (I) gilt, wenn dort x >=3) Viele Grüße Marcel |
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anonymous 00:21 Uhr, 24.05.2005 |
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Die umkehrkehrfunktion zu errechnen war ja einfach, und lang ist s her... Aber wie komme ich noch einmal auf den Wertebereich und Definitionsbereich? Wf war glaub ich den Term unter der Wurzel gleich 0 setzen, aber wie kam ich auf den Definitionsbereich? Dankeschön! |
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