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Umkehrfunktion bestimmen

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Analysis, Linear Abbildung, Umkehrfunktion bilden

kolokmeister aktiv_icon

20:12 Uhr, 08.11.2021

Aufgabe:

Aufgabe 1.

Es sei

f : R + 0

→(0,1

]

die Funktion STEHT UNTEN ALS BILD wegen der komischen schrebweise

Bestimmen Sie die Umkehrfunktion f−1 von

f,

und zeigen Sie durch Berechnen von f◦f−1
und f−1◦f, dass f−1 auch tatsächlich die Umkehrfunktion ist. Achten Sie insbesondere auf
Definitions- und Wertebereiche. (Durch den Nachweis der Existenz einer Umkehrfunktion
haben Sie dann auch automatisch gezeigt, dass

f

bijektiv ist.)

Problem/Ansatz: Also: Ich muss jetzt um die Umkehrfunktion zu bestimmen nach

X

auflösen und dann

X

und

Y

miteinander vertauschen. Aber wie vertausche ich jetzt

X

und

Y

mathematisch korrekt, so dass

X = 1

und

Y = 0

sein müsste? Bzw. ist dann meine Annahme korrekt?

Mein bisheriger Rechenweg ist unten auch noch als Bild

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

N8eule

20:59 Uhr, 08.11.2021

y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}

vermutlich wolltest du nun die gesamte Gleichung mit

\sqrt{1 + x^{2}}

durchmultiplizieren:

y \cdot \sqrt{1 + x^{2}} = \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\sqrt{1 + x^{2}}}

. .

rundblick aktiv_icon

21:01 Uhr, 08.11.2021

y = \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}

"wegen der komischen schrebweise .. :-)"

was findest du da komisch?

beachte: in welchen Bereichen hat eine Funktion eine Umkehrfunktion?

.

kolokmeister aktiv_icon

21:11 Uhr, 08.11.2021

Also Definitionsbereich der Umkehrfunktion leigt zwischen 0 und 1 oder?

rundblick aktiv_icon

21:20 Uhr, 08.11.2021

.
" Also Definitionsbereich der Umkehrfunktion leigt zwischen 0 und 1 oder?"
ja - aber: welcher Umkehr

f u n k t i o n

\to

du hast meine oben gestellten Fragen noch nicht beantwortet..

\to .

.
.

kolokmeister aktiv_icon

21:40 Uhr, 08.11.2021

Was ich komisch fand ist einfach nur dass es schwierig ist diese gleichung zu schreiben also hab ich ein foto gemacht.

Ehm zur Gleichung selbst habe ich massive defizite die umzuformulieren und umzustellen. Kriege

z . B

. das

X

im Nenner nicht weg usw. Ich muss ja für die Umkehrfunktion nach

X

umstellen glaube und dann

X

mit

Y

vertauschen.

In welchen Bereichen hat eine Funktion eine Umkehrfunktion? Ehm ich weiß nicht genau was du meinst. Aber ich sage mal was ich so weiß:

Die Umkehrfunktion

f^{- 1}

hat einen vertauschten Definitions und Wertebereich der Funktion

f (x)

(oder

y)

.

Für eine Umkehrfunktion muss die Funktion bijektiv und eindeutig zuordbar sein. Das weiß ich noch.

Was soll ich genau sagen? (Ich bin außerdem echt schlecht in Mathe)

ledum aktiv_icon

22:35 Uhr, 08.11.2021

hallo
es ist nicht fair, dieselben Aufgaben in mehreren Foren zu stellen, ohne das zu sagen!
2. überprüfe jeden deiner Schritte beim Rechnen. ob der auch rückgängig zu machen ist, oder indem du für

x

einfache Zahlen einsetzt.
Dann siehst du schnell, dass du sehr dicke Fehler machst, und die haben wenig mit Mathe verstehen zu tun als mit sehr einfachen Rechenregeln aus ca Klasse 6.
ledum

kolokmeister aktiv_icon

22:37 Uhr, 08.11.2021

in der sechsten klasse konnte ich auch kein mathe

rundblick aktiv_icon

22:38 Uhr, 08.11.2021

.
" .. ja für die Umkehrfunktion nach

X

umstellen glaube und dann

X

mit

Y

vertauschen."

schauen wir also mal :

y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}} ...

. beide Seiten quadrieren

\to

y^{2} = \frac{1}{1 + x^{2}} . .

\to

1 + x^{2} = \frac{1}{y^{2}} . .

. (was wurde da gerechnet?)

vertausche

x, y \to

1 + y^{2} = \frac{1}{x^{2}} .

. also

\to y^{2} = \frac{1}{x^{2}} - 1 \Rightarrow

y^{2} = \frac{1 - x^{2}}{x^{2}} . .

. und jetzt gibt es zwei Möglichkeiten für

y

(warum?)

\to

y = \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x} ... ... . .

. oder

...

y = - \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x}

und nun kommt die Frage ins Spiel

\to

"In welchen Bereichen hat die Funktion

f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}

eine (welche?) Umkehrfunktion?"

denk darüber nach

, . .

. mach dir mal ein Bild :
und schau zB zuerst an: wo ist

f (x)

zB monoton fallend und wo steigend?
und was hat das mit möglichen Umkehrfunktionen zu tun..usw..
ach ja : sicher weisst du, dass graphisch die Umkehrfunktion Spiegelbild von

f (x)

bei
Spiegelung an der ersten Winkelhalbierenden

y = x

ist?

ok?
.

kolokmeister aktiv_icon

23:15 Uhr, 08.11.2021

Ich hatte versucht das so zu rechnen.

Ehm wir haben zwei Ergebnisse weil du dort die Wurzeln gezogen hast glaube?

"In welchen Bereichen hat die Funktion eine Umkehrfunktion?"

Ich sag jetzt einfach mal Relle Zahlen weil mir sonst nichts einfällt.

kolokmeister aktiv_icon

23:28 Uhr, 08.11.2021

Oder negative rellen Zahlen mit 0?

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06:42 Uhr, 09.11.2021

vgl:
www.wolframalpha.com/input/?i=invert+1%2F%281%2Bx%5E2%29%5E0.5

N8eule

07:29 Uhr, 09.11.2021

Mit Verlaub, du hast wirklich noch offensichtliche Probleme mit elementarsten Rechenoperationen.
Um mal das schon Gesagte auf das Wesentliche zu konzentrieren:

Richtig wäre gewesen:

y = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}

ganze Gleichung quadrieren:

y^{2} = \frac{1}{1 + x^{2}}

ganze Gleichung mal

(1 + x^{2})

y^{2} \cdot (1 + x^{2}) = 1

ganze Gleichung durch

y^{2} :

(1 + x^{2}) = \frac{1}{y^{2}}

ganze Gleichung minus 1:

x^{2} = \frac{1}{y^{2}} - 1

ganze Gleichung Wurzel ziehen:

x = \pm \sqrt{\frac{1}{y^{2}} - 1}

So, zur Übersicht: das wäre mal die Umkehr- na ja Relation - ich war fast schon versucht, von -Funktion zu sprechen.
Wer will kann noch die Variablen-Namen tauschen, wie's im Lehrplan steht:

y = \pm \sqrt{\frac{1}{x^{2}} - 1}

Ich denke, das wäre das gewesen, was man von dir erwarten wollte und du üben solltest.

Die restlichen Gedanken zu Funktionen, Definitions- und Werte-Bereichen sind ja auch nützlich und solltest du schon auch mal gelegentlich noch angehen. Aber ich denke, es wird für dich und dein - sorry - Niveau erst mal nützlich sein, so weit Übersicht und Fortschritt zu erkennen.

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07:48 Uhr, 09.11.2021

Ergänzung:
Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung.
Daher muss man das Ergebnis immer überprüfen.
Bei Gleichungen mit Zahlen als Lösung kann es zu Scheinlösungen kommen.

kolokmeister aktiv_icon

08:51 Uhr, 09.11.2021

Ich muss dran bleiben.

1. Frage: Was mich jetzt bisschen schonmal verwirrt ist dass ich ja mit dem ERGEBNIS wegen

+

und

- =

zwei potentielle Ergebnisse habe. Ist das richtig? Wie soll ich dann damit weiter rechnen bzw. welches soll ich benutzen oder beide?

2.Egal ich muss jetzt weiter machen: Jetzt muss ich die Verkettungen f◦f^−1 und f^−1◦f berechnen und zeigen, dass das

f^{- 1},

was wohlgemerkt du ausgerechnet hast, wirklich die Umkehrfunktion ist. Verkettung wäre dann so oder?: f◦f^−1

= f (f^{- 1} (x))

3. Ich habe lange drüber nachgedacht: Muss ich jetzt das Ergebnis von

f^{- 1}

anstelle des

x

der Funktion

f (x)

einsetzen und dann ausrechnen?

HAL9000

09:03 Uhr, 09.11.2021

> 1. Frage: Was mich jetzt bisschen schonmal verwirrt ist dass ich ja mit dem ERGEBNIS wegen + und -= zwei potentielle Ergebnisse habe. Ist das richtig? Wie soll ich dann damit weiter rechnen bzw. welches soll ich benutzen oder beide?

Schauen wir doch mal ganz auf den Anfang zurück: Da steht NICHT

f : ℝ \to (0, 1]

mit

f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}

,

sondern

f : ℝ_{+ 0} \to (0, 1]

mit

f (x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x^{2}}}

,

wobei ich davon ausgehe, dass damit

ℝ_{+ 0} = [0, \infty)

gemeint ist. Das ist natürlich zu berücksichtigen wenn es um die Frage geht, welches Vorzeichen denn nun vor der Wurzel in der Umkehrfunktionsdarstellung zu wählen ist.

Roman-22

11:16 Uhr, 09.11.2021

>

wobei ich davon ausgehe, dass damit ℝ+0=

[

0,∞) gemeint ist.
Ja, vermutlich steht in der Originalangabe

ℝ_{0}^{+},

was man nach aktueller Norm als

ℝ_{\geq 0}

bezeichnen würde.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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