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Umkehrfunktion größtmöglicher Definitionsbereich

Universität / Fachhochschule

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Tags: Folgen, Reihen

FoxDie aktiv_icon

16:46 Uhr, 14.11.2011

Ich soll den größtmöglichen Definitionsbereich der Zuordnungsvorschrift

f (x) = \frac{x - 2}{x - 3}

. Zudem soll ich soll ich die Bildmenge bestimmen und zeigen das eine Umkehrfunktion existiert. Nur weiß ich nicht was eine Bildmenge ist und wie man von der Funktion die Umkehrfunktion bilden soll

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Definitionsbereich (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

prodomo aktiv_icon

16:58 Uhr, 14.11.2011

D

besteht aus allen

x,

die man einsetzen darf. Da hier durch

x - 3

geteilt wird, ist

x = 3

verboten. Also ist

D

gleich

ℝ

ohne

{3}

.
Die Bildmenge sind alle

y,

die beim Einsetzen von

x

entstehen. Hier kann man nur

y = 1

bekommen, wenn

x

über alle Grenzen wächst (sowohl ins Negative wie ins Positive). Eine Umkehrfunktion bekommt man, wenn man rückwärts aus

y

wieder

x

gewinnt. Also

y = \frac{x - 2}{x - 3}

ergibt

y \cdot (x - 3) = x - 2

oder

x \cdot (y - 1) = 3 \cdot y - 2,

daraus

x = \frac{3 \cdot y - 2}{y - 1}

. Auch hier sieht man, dass

y = 1

problematisch wäre.
Als Student darfst du sowas eigentlich nicht fragen...

rundblick aktiv_icon

17:07 Uhr, 14.11.2011

"Als Student darfst du sowas eigentlich nicht fragen..."

deshalb verrät dir prodomo auch nicht, dass sein

x = \frac{3 y - 2}{y - 1}

gar nicht die Gleichung der Umkehrfunktion ist...

und ganz nebenbei dazu:
"und zeigen das eine Umkehrfunktion existiert. "

- weisst du, wie man vorgehen kann/sollte, wenn es darum geht,
nur erstmal die Existenz zu "zeigen" ?

FoxDie aktiv_icon

21:23 Uhr, 15.11.2011

Da muss man ja gucken ob die funktion erstmal streng monoton fallend bzw. steigend ist und bijektiv ist oder?

hagman aktiv_icon

23:20 Uhr, 15.11.2011

Für die Existenz muss man keine Monotonie zeigen, es gibt ja auch nicht-monotone umkehrbare Funktionen.
Und natürlich wäre die explizite Angebe einer Umkehrfunktion der einfachste mögliche Existenzbeweis ;-)

Ist

f : A \to B

eine Funktion, so ist die Bildmenge einfach

B i l d (f) := {f (x) | x \in A}

.
Die Umkehrabbildung Bild(f)->A existiert übrigens genau dann, wenn

f

injektiv ist.
Kannst du Injektivität nachweisen, kannst du also aus

\frac{x_{1} - 2}{x_{1} - 3} = \frac{x_{2} - 2}{x_{2} - 3}

auf

x_{1} = x_{2}

schließen?

Naja, vielleicht ist es doch einfacher, die Umkehrung explizit anzugeben mit einer kleinen Rechnung

. .

y = \frac{x - 2}{x - 3}

(mit

x \neq 3

und

y \neq 1)

\Leftrightarrow y = 1 - \frac{1}{x - 3}

\Leftrightarrow 1 - y = \frac{1}{x - 3}

\Leftrightarrow \frac{1}{1 - y} = x - 3

\Leftrightarrow x = 3 + \frac{1}{1 - y} = \frac{4 - 3 y}{1 - y}

rundblick aktiv_icon

00:20 Uhr, 16.11.2011

hagman SCHREIBT:

"mit einer kleinen Rechnung

. .

y = \frac{x - 2}{x - 3}

(mit x≠3 und y≠1)

⇔

y = 1 - \frac{1}{x - 3}

.."

. .

< -

SORRY - ABER DAS IST LEIDER HIER SCHON FALSCH

und nebenbei:
die Umkehrfunktion hat auch noch keiner richtig notiert..

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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