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Umkehrfunktion streng monoton?

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Tags: Funktion, Stetigkeit

barracuda317 aktiv_icon

19:03 Uhr, 22.04.2012

Die Aufgabenstellung habe ich mal als Bild angehängt und notiere mal meine bisherigen Überlegungen:

Voraussetzung:

I (I n t e r v a l l) \subseteq ℝ, f : I \to ℝ

stetig und streng monoton.

Behauptung:

f : I \to f (I)

ist surjektiv

Beweis:

Die Voraussetzung gilt und damit ist der Zielbereich gleich dem Bildbereich. Dies ist gerade die Definition von Surjektivität, und damit ist f surjektiv.

Behauptung:

f : I \to f (I)

ist injektiv.

Die Voraussetzung gilt und damit ist die Abbildung streng monoton.

Damit gilt:

streng monoton steigend:

x < y \Rightarrow f (x) < f (y)

streng monoton steigend:

x > y \Rightarrow f (x) > f (y)

streng monoton

x \neq y \Rightarrow f (x) \neq f (y)

Damit folgt im Umkehrschluss jedoch:

f (x) = f (y) \Rightarrow x = y

Was wiederum die Definition der Injektivität ist. Also ist f auch injektiv und damit bijektiv.

--------------
Ich denke, dass sollte so richtig sein. Bei der zweiten Behauptung bin ich aber unsicher, wie ich vorgehen soll.

Wir haben im Skript einen Satz, der sinngemäß aussagt:

f : I \to f (I)

bijektiv

\Rightarrow \exists f^{- 1} : f (I) \to I

mit

f^{- 1} (f (a)) = a

für alle

a \in I

und

f (f^{- 1} (b)) = b

für alle B \in f(I)

aber was bringt mir das genau?

ich muss für die strenge Monotonie zeigen, dass

\forall x, y \in I

gilt:

f (x) \neq f (y) \Rightarrow f^{- 1} (f (x)) \neq f^{- 1} (f (y))

Ist das identisch zu:

f (x) \neq f (y) \Rightarrow x \neq y

?

Basierend darauf mal meine Beweisversuch:

Voraussetzung:

f (x) \neq f (y)

Behauptung:

x \neq y

Beweis:

Es gelte

x = y

Aus der Injektiviät von f gilt damit auch

f (x) = f (y)

. Also ist in diesem Fall die Voraussetzung falsch. Mit dem Beweis durch Kontraposition gilt damit bei wahrer Voraussetzung auch die Behauptung.

-----
Rückblicken finde ich das zwar ganz schick, aber ob es richtig ist, weiß ich noch nicht. Wäre über einen fachkundigen Blick auf das Ganze dankbar :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

hagman aktiv_icon

19:32 Uhr, 22.04.2012

x \neq y \Rightarrow f (x) \neq f (y)

ist aber nicht eure Definition von streng monoton, oder?

barracuda317 aktiv_icon

19:47 Uhr, 22.04.2012

Nein, bei uns wurden streng monoton wachsend und streng monoton fallend einzeln definiert, und streng monoton, wenn eines der beiden zutrifft. Da ich den Beweis nicht doppelt für wachsend und fallend machen wollte, habe ich mich darauf berufen und bin davon ausgegangen, dass mich dies im weiteren Verlauf nicht behindert.

Darf ich das nicht so schlussfolgern?

hagman aktiv_icon

19:52 Uhr, 22.04.2012

Führe den Beweis einzeln mit

x > y \Rightarrow f (x) > f (y)

sowie im Anschluss mit

x > y \Rightarrow f (x) < f (y)

durch.
Denn

x \neq y \Rightarrow f (x) \neq f (y)

ist einfach nur Injektivität.
Man kann sich die doppelte Arbeit aber sparen, indem man entweder nur "der Fall monotonen Fallens geht analog" schreibt oder geeignet mit gestapelten

>

und

<

Zeichen (analog zur Schreibweise "

\pm

" ) arbeitet

barracuda317 aktiv_icon

19:55 Uhr, 22.04.2012

Vom Prinzip stimmt der Beweis aber? Dann würde ich das Beweisschema einfach an < anpassen. Ist dann aber das gestapelte <> nicht das gleiche wie

\neq

Underfaker aktiv_icon

20:08 Uhr, 22.04.2012

Was willst du denn machen?

Du willst einen Beweis führen und zeigen, dass der Beweis analog für

>

und

<

geht und nicht das gleichzeitig größer und kleiner gilt (was natürlich auch eher schwer möglich ist)

Wenn du

\pm

schreibst ist das ja auch nicht " = "

barracuda317 aktiv_icon

20:16 Uhr, 22.04.2012

Ich habe das gestapelte <> gelesen als, größer oder kleiner. Genauso ist doch auch +- gemeint als, + oder - und nicht gleichzeitig. Daher dann meine Schlussfolgerung, dass wenn etwas > oder < also etwas anderes ist, ist es ungleich.

Ich denke ich schreibe es lieber seperat auf, um mich nicht zu verhaspeln.

D.h. der Beweis ansonsten wäre so okay?

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