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Umkehrfunktion von sinh(x)

Universität / Fachhochschule

14:54 Uhr, 23.06.2011

Hallo ihr Lieben, habe mal wieder eine Aufgabe und bräuchte mal eure Hilfe falls es falsch ist:

7.5 Berechnen Sie die Umkehrfunktion von $f (x) = \sinh (x)$

Lösungsansatz:

$f (x) = \sinh (x)$

$y = \sinh (x)$

$x = \sinh (y)$

$x = \frac{1}{2} (e^{y} - e^{- y}) | * 2$

$2 x = e^{x} - e^{- x} | \ln$

$\ln (2 x) = y - (- y) = y + y = 2 y | / 2$

$y = \frac{\ln (2 x)}{2} \Rightarrow f^{- 1} (x) = \frac{\ln (2 x)}{2}$

Ist das korrekt?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

16:20 Uhr, 23.06.2011

Hallo,

das Ergebnis ist leider nicht richtig, denn es ist

ln (e^{y} - e^{- y})

eben nicht gleich

y - (- y)

x = \frac{1}{2} \cdot (e^{y} - e^{- y}) | \cdot 2

2 x = e^{y} - e^{- y}

e^{y} - e^{- y} - 2 x = e^{y} - \frac{1}{e^{y}} - 2 x = 0

Substitution

z = e^{y} :

z - \frac{1}{z} - 2 x = 0 | \cdot z

z^{2} - 1 - 2 \cdot x \cdot z = 0

Quadratische Gleichung auflösen:

z = x \pm \sqrt{1 + x^{2}}

Rücksubstitution:

e^{y} = x \pm \sqrt{1 + x^{2}} | ln

y = ln (x \pm \sqrt{1 + x^{2}})

\sqrt{1 + x^{2}} > \sqrt{x^{2}} = x

ist, wäre

x - \sqrt{1 + x^{2}} < 0

. Der Logarithmus ist aber für Zahlen

\leq 0

nicht definiert. Deshalb kommt nur das Plus-Zeichen als Lösung in Frage, also:

y = ln (x + \sqrt{1 + x^{2}})

Viele Grüße
Yokozuna

16:22 Uhr, 23.06.2011

Super...habe es verstanden :D

Vielen Dank für die ausführliche Erklärung :)

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