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Umkehrsatz und Satz von Taylor

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Tags: Determinant, Differentiation, Funktion, Funktionalanalysis, Grenzwert, Linear Abbildung, Sonstig, Stetigkeit

 
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Isaaabellll

Isaaabellll aktiv_icon

22:56 Uhr, 27.05.2018

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Hallo,
bei folgender Aufgabe komme ich nicht weiter
Kann jemand helfen?

Bestimmen Sie mit Hilfe des Satzes von Taylor Zahlen a,b,c,d∈R, so dass die Lösung (x=x(u,v),y=y(u,v)) mit

u=y+x2⋅cosy-sin(x2)
v=sinx+x⋅y

die folgende Gestalt hat

x(u,v)=au+bv+r1(u,v),
y(u,v)=cu+dv+r2(u,v),

wobei r=(r1,r2):R2→R2 eine Funktion ist mit lim(u,v)→0||r(u,v)||||(u,v)||=0 bezüglich der euklidischen Norm.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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ledum

ledum aktiv_icon

16:24 Uhr, 28.05.2018

Antworten
Hallo
schreibe die Taylorreihe für die cos und sin Terme, dann löse auf und benutze die Restglieder der TR.
Gruß ledum
Isaaabellll

Isaaabellll aktiv_icon

20:23 Uhr, 28.05.2018

Antworten
u=y+x2⋅∑k=0∞(-1)k⋅1(2k)!⋅y2k − ∑k=0∞(-1)k⋅1(2k+1)!⋅x(2k+1)⋅2

v=∑k=0∞(-1)k⋅1(2k+1)!⋅x2k+1+x⋅y

⇒

x(u,v)=au+bv+r1(u,v)
=a(y+x2⋅∑k=0∞(-1)k⋅1(2k)!⋅y2k − ∑k=0∞(-1)k⋅1(2k+1)!⋅x(2k+1)⋅2)+b(∑k=0∞(-1)k⋅1(2k+1)!⋅x2k+1+x⋅y)+r1(u,v)

y(u,v)=cu+dv+r2(u,v)
=c(y+x2⋅∑k=0∞(-1)k⋅1(2k)!⋅y2k − ∑k=0∞(-1)k⋅1(2k+1)!⋅x(2k+1)⋅2)+d(∑k=0∞(-1)k⋅1(2k+1)!⋅x2k+1+x⋅y)+r2(u,v)

Und was hat dies nun mit der Findung von a,b,c,d zutun?
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