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Umparametrisierung gesucht

Universität / Fachhochschule

Funktionentheorie

Tags: Funktionentheorie

Drumbene91 aktiv_icon

15:56 Uhr, 26.09.2020

Hallo zusammen, ich möchte verifizieren, dass für

γ_{k} := [0, 1] \to ℂ : t \mapsto e^{2 * p i * i * k}

keine stetig differenzierbare Umparametrisierung

φ : [c, d] \to [0, 1] z u γ_{l}

existiert für

k \neq l

.
Habe versucht, das Ganze mit einem Wiederspruchsbeweis zu zeigen, also anzunehmen, dass eine Umparametrisierung existiert und

γ_{l} (t) = γ_{k} (φ (s)) \forall s \in [c, d]

auszurechnen, aber da bin ich irgendwie nicht weiter gekommen, evtl. hat ja jemand von euch einen Tipp :-)
LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

rundblick aktiv_icon

16:34 Uhr, 26.09.2020

.
"das Ganze mit einem

\to

Wiederspruch"

- -

:-)

nein , ich will dir nicht widersprechen, sondern nur nachfragen, ob ich das richtig sehe:
wird da

j e d e m

reellen

t \in [0,1]

immer die gleiche, von

t

unabhängige Konstante in

ℂ

zugeordnet?

?

Drumbene91 aktiv_icon

16:36 Uhr, 26.09.2020

Ja habs grad gesehen sorry xD
Also es handelt sich um die Parametrisierung des komplexen Einheitskreises, wir starten für

t = 0

und durchlaufen diesen dann entgegen dem Uhrzeigersinn bis

t = 1

:-)

Drumbene91 aktiv_icon

16:38 Uhr, 26.09.2020

korrekt müsste es natürlich heißen

t \mapsto e^{2 * π * i * k * t}

rundblick aktiv_icon

17:03 Uhr, 26.09.2020

.
"korrekt müsste es natürlich heißen

t

↦

e^{2 k π \cdot t \cdot i}

... ... ... ... ... ... ... ... .

. ok

... ... ... ... ... ... ... ... .

. also

: ... ... . .

t \to cos (2 k π \cdot t) + i \cdot sin (2 k π \cdot t)

"wir starten für

t = 0

und durchlaufen diesen dann entgegen dem Uhrzeigersinn bis

t = 1

:-)"

\to

wer ist wir?

.. na ja, ich laufe also dann halt einfach auch mal mit :

\to

einmal linksherum ( :-) ) um den EK :

z (t) = cos (2 π \cdot t) + i \cdot sin (2 π \cdot t) . .

. für

\to 0 \leq t < 1 .

. (wenn zB

\to k = 1)

und jetzt?
.

ermanus aktiv_icon

18:18 Uhr, 26.09.2020

Hallo,
kennt ihr den Satz über die Unabhängigkeit der Weg-Integrale

\int_{γ} f (z) d z

bzgl. äquivalenter Parametrisierungen des Weges

γ

für beliebige (hinreichend gutartige)

f

?
Gruß ermanus

Drumbene91 aktiv_icon

18:36 Uhr, 26.09.2020

Hallo ermanus, ja genau diesen Satz hatten wir, das Beispiel oben soll quasi verdeutlichen, dass die Aussage des Satzes richtig interpretiert werden muss und dass es nicht reicht, das Bild des Weges üben den integriert wird nur als Menge zu betrachten, im Zuge dessen wird darauf verwiesen, dass für das Beispiel eben keine Umparametrisierung existiert, und das wollte ich nachvollziehen
LG

ermanus aktiv_icon

18:41 Uhr, 26.09.2020

Prima! Dann nimm doch einfach

f (z) = \frac{1}{z}

,
dann bekommst du für

k \neq l

zwei verschiedene Integralwerte.

Drumbene91 aktiv_icon

20:38 Uhr, 26.09.2020

Ah okay, ich glaube ich verstehe!
Dann bekomme ich ja für die Parametrisierungen

γ_{k} u n d γ_{l}

\int_{γ_{k}} \frac{1}{z} = 2 k π i \neq \int_{γ_{l}} \frac{1}{z} = 2 l π i

wenn ich annehme, dass eine Umparametrisierung existiert, im Widerspruch zum obigen Satz.
Vielen Dank!

ermanus aktiv_icon

21:37 Uhr, 26.09.2020

Ja. So habe ich es gemeint :-)

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