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Umrechnen von komplexen Zahlen

Schüler

Tags: Komplexe Zahlen, Polarform, umrechnen

Peter857 aktiv_icon

20:36 Uhr, 16.12.2017

Hallo,

ich muss folgende Aufgabe machen und habe überhaupt keine Ahnung, wie ich diese lösen soll:

Folgende komplexe Zahlen müssen mit Hilfe von Polarkoordinaten in die Form

z = x + y \cdot i

umgewandelt werden:

{(- 3^{\frac{1}{2}} + i)}^{28}

exp

(\frac{π}{2} \cdot \frac{1 + i \cdot 2^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}} + i})

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Respon

20:43 Uhr, 16.12.2017

Ist das gemeint

{(- \sqrt{3} + i)}^{28}

Peter857 aktiv_icon

20:44 Uhr, 16.12.2017

Ja :-)

Respon

20:46 Uhr, 16.12.2017

Bringe vorerst

- \sqrt{3} + i

auf die Form

r \cdot e^{i \cdot φ}

Dabei ist

r

der Betrag und

φ

das Argument der komplexen Zahl.

Peter857 aktiv_icon

21:00 Uhr, 16.12.2017

Da liegt mein Problem, ich weis nicht, wie ich das genau machen soll. Von der Form x+iy zur Polarform ist es kein Problem.

Respon

21:06 Uhr, 16.12.2017

a + i \cdot b

r = | a + i \cdot b | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

r = | - \sqrt{3} + 1 | = \sqrt{3 + 1} = 2

tan (φ) = \frac{b}{a}

tan (φ) = \frac{1}{- \sqrt{3}} \Rightarrow φ = \frac{5 \cdot π}{6}

( Quadrant in der Gaussebene beachten )

\Rightarrow

- \sqrt{3} + i = 2 \cdot e^{i \cdot \frac{5 \cdot π}{6}}

ledum aktiv_icon

21:07 Uhr, 16.12.2017

Hallo
zeichne doch mal

- \sqrt{3} + i

in die x-y-Ebene, dann hasst du den Winkel direkt ablesen, sonst

sin (φ = \frac{1}{\sqrt{2}}, cos φ = - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}

weil

\sqrt{2}

der Betrag ist.
Gruß ledum

Respon

21:10 Uhr, 16.12.2017

oder

- \sqrt{3} + i = 2 \cdot (cos (\frac{5 \cdot π}{6}) + i \cdot sin (\frac{5 \cdot π}{6}))

. .

. und jetzt die Potenz

Bis jetzt alles verstanden ?

Peter857 aktiv_icon

21:16 Uhr, 16.12.2017

Respon,

laut Definition ist

r

der Betrag von

z

. Warum nimmst du jetzt aber nur den Betrag von

z

ohne den Exponenten?

Respon

21:19 Uhr, 16.12.2017

Ich habe vorerst nur

- \sqrt{3} + i

in eine geeignete Form umgebaut.

- \sqrt{3} + i = 2 \cdot e^{i \cdot \frac{5 \cdot π}{6}}

oder

- \sqrt{3} + i = 2 \cdot (cos (\frac{5 \cdot π}{6}) + i \cdot sin (\frac{5 \cdot π}{6}))

Und jetzt berechne

{(2 \cdot e^{i \cdot \frac{5 \cdot π}{6}})}^{28}

bzw.

{(2 \cdot (cos (\frac{5 \cdot π}{6}) + i \cdot sin (\frac{5 \cdot π}{6})))}^{28}

. .

. und wenn erledigt, dann bitte "abhaken" !

Peter857 aktiv_icon

22:12 Uhr, 16.12.2017

Nochmal eine Frage an dich, wie kommst du auf den Wert

\frac{5 \cdot π}{6}

? Zu Schulzeiten habe ich es immer stumpf in den Taschenrechner eingegeben, aber das ist hier ja nicht erlaubt :-D)

Respon

22:19 Uhr, 16.12.2017

Ich verwende keine TR.

tan (φ) = - \frac{1}{\sqrt{3}}

Wir wissen - oder sollten wissen - dass

tan (\frac{π}{6}) = \frac{1}{\sqrt{3}}

\Rightarrow tan (π - \frac{π}{6}) = tan (\frac{5 \cdot π}{6}) = - \frac{1}{\sqrt{3}}

Respon

22:38 Uhr, 16.12.2017

Zwei Stunden für dieses Beispiel ! Du bist ja eigentlich knapp vor der Lösung.

Peter857 aktiv_icon

22:56 Uhr, 16.12.2017

So, jetzt mache ich weiter,sorry.

(2 \cdot e^{i \cdot (5 \frac{π}{6})}))^{28}

wird dann zu

2^{28} \cdot e^{i \cdot (140 \frac{π}{6})}

.

Dann ist

2^{28}

mein

| z |

und damit die Hypotenuse und

(140 \frac{π}{6})

mein Winkel.

Und mit den beiden kann ich jetzt die Ankathete und die Gegenkathete bestimmen, richtig?

Respon

23:06 Uhr, 16.12.2017

{(2 \cdot e^{i \cdot \frac{5 \cdot π}{6}})}^{28} = 2^{28} \cdot e^{i \cdot \frac{70 \cdot π}{3}}

Wegen der Periode von

2 \cdot π

können wir jetzt

2 \cdot π

sooft abziehen, bis wir im Hauptintervall landen.

\frac{70 \cdot π}{3} - 2 \cdot π \cdot 11 = \frac{4 \cdot π}{3}

\Rightarrow

{(2 \cdot e^{i \cdot \frac{5 \cdot π}{6}})}^{28} = 2^{28} \cdot e^{i \cdot \frac{70 \cdot π}{3}} = 2^{28} \cdot e^{i \cdot \frac{4 \cdot π}{3}} = 2^{28} \cdot (cos (\frac{4 \cdot π}{3}) + i \cdot sin (\frac{4 \cdot π}{3})) = 2^{28} \cdot (- \frac{1}{2} - i \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})

Peter857 aktiv_icon

13:38 Uhr, 17.12.2017

Ja okay, ich denke, ich habe die Schritte soweit verstanden.

Und wie würde man das ganze bei der zweiten machen?

ledum aktiv_icon

15:40 Uhr, 17.12.2017

welche zweite?
Gruß ledum

ledum aktiv_icon

16:11 Uhr, 17.12.2017

welche zweite?
Gruß ledum

Peter857 aktiv_icon

18:04 Uhr, 17.12.2017

Schon gut, habe ich schon gelöst

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