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Umrechnung kartesische in Polarkoordinaten

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Komplexe Zahlen, Polarkoordinaten, Radizieren, Umrechnung

ChristlM aktiv_icon

19:42 Uhr, 02.11.2009

Hallo!
Ich habe folgendes Problem: Ich soll alle fünften Wurzeln der komplexen Zahl

z = 18 - i \cdot 6 \cdot \sqrt{3}

ziehen. Jedoch muss diese Lösung rein rechnerisch und OHNE Taschenrechner ermittelt werden. Wie bekomme ich also ohne Taschenrechner die Polarkoordinaten einer komplexen Zahl?

r

habe ich bereits ermittelt und das Wurzelziehen an sich ist auch kein Problem - ich scheitere nur daran, den Winkel

φ

herauszufinden.
Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DK2ZA aktiv_icon

19:46 Uhr, 02.11.2009

Dividiere doch mal die Zahl durch

6 \cdot \sqrt{3}

. Der Winkel ändert sich dabei nicht.

GRUSS, DK2ZA

ChristlM aktiv_icon

20:07 Uhr, 02.11.2009

OK,

\frac{6 \cdot \sqrt{9}}{6 \cdot \sqrt{3}} - i,

damit hätte ich ein Verhältnis von

a : b = \sqrt{3} : 1

1 : 1

ist

\frac{π}{4}

.
Bin ich am richtigen Weg?

DK2ZA aktiv_icon

20:43 Uhr, 02.11.2009

18 - i \cdot 6 \cdot \sqrt{3} = 6 \cdot \sqrt{3} \cdot (\sqrt{3} - i)

Das geht also

\sqrt{3}

nach rechts und 1 nach unten.

Mache daraus ein rechtwinkliges Dreieck. Wie lang ist die dritte Seite?

Nun verlängere die Strecke 1 um 1 und erhalte ein zweites rechtwinkliges Dreieck anliegend an das erste.

Das ergibt ein großes Dreieck mit einer besonderen Eigenschaft.

Dann sollte alles klar sein.

GRUSS, DK2ZA

ChristlM aktiv_icon

20:53 Uhr, 02.11.2009

Somit sind alle 3 Seiten gleich lang (nämlich 2), alle Winkel ergeben pi, ein Winkel also pi/3, davon die Hälfte pi/6.
Sehr schön, vielen Dank!

Zu diesem Beitrag wurde eine digitale Zeichnung hinzugefügt:

Zeichnung betrachten

DK2ZA aktiv_icon

21:06 Uhr, 02.11.2009

Bei mir werden die Zeichnungen nicht dargestellt. Weiss nicht, was ich falsch mache (Firefox).

Du hast jetzt ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten

\sqrt{3}

und 1 und der Hypotenuse 2. Nun nimmst du ein zweites Dreieck mit den gleichen Abmessungen und legst es so an das erste, dass die Seiten der Länge

\sqrt{3}

zusammenfallen.

Das entstehende Gesamtdreieck ist gleichseitig und damit kennst du die Winkel.

Der gesuchte Winkel ist dann 360°-30° = 330°.

GRUSS, DK2ZA

ChristlM aktiv_icon

21:08 Uhr, 02.11.2009

Ja genau das hab ich gerade herausgefunden.
Warst mir eine sehr große Hilfe!
Vielen Dank!

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