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Umrechnung von globale in lokale Koordinaten

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: Koordinatenform, Linear Abbildung

Escaped aktiv_icon

20:53 Uhr, 17.02.2016

Hallo liebes Forum,

kann mir jemand erklären, wie man auf ny, nx und nz kommt?

Was ich mir bis jetzt hergeleitet habe:
Der Stab von Knoten

1 - 2

(siehe Foto) wurde auf die

x, y

Ebene projiziert.
Dann hört das Verständnis schon auf hahaa.

Viele Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebenen in Parameterform

Werner-Salomon aktiv_icon

23:04 Uhr, 17.02.2016

Hallo,

n_{x}

ist der Normalenvektor in Stabrichtung vom Ort [1] zum Ort [2]. Den Vektor

s

, der durch den Stab gebildet wird, kann man direkt aus der Zeichnung ablesen. Laufe in X-Rchtung -2m, in Y-Richtung -4m und in Z-Richtung um +4m und Du kommst vom Ort [1] zum Ort [2]. Also ist der Stab

s

s = (\begin{array}{rcl} - 2 \\ - 4 \\ 4 \end{array})

Der Betrag von

s

ist nach Pythagoras

∣ s ∣ = \sqrt{(- 2)^{2} + (- 4)^{2} + 4^{2}} = \sqrt{4 + 16 + 16} = 6

Demnach ist der Einheitsvektor in S(tab)-Richtung

n_{x} = \frac{1}{∣ s ∣} s = \frac{1}{6} (\begin{array}{rcl} - 2 \\ - 4 \\ 4 \end{array})

Der Vektor

n_{y}

wurde so gewählt, dass er in der XY-Ebene liegt. Damit ist seine Z-Koordinate =0. Gleichzeitig steht er senkrecht auf

n_{x}

, d.h. das Skalarprodukt von

n_{x}

und

n_{y}

ist gleich 0. Man erhält bei zwei Koordinaten einen senkrechten Vektor, wenn man die beiden Koordinaten vertauscht und eine negiert.
Mit dem Betrag von |(-4|2)|=

\sqrt{(- 4)^{2} + 2^{2}} = \sqrt{20}

ist er demnach

n_{y} = \frac{1}{\sqrt{20}} (\begin{array}{rcl} - 4 \\ 2 \\ 0 \end{array})

das könnte man auch vereinfachen zu

n_{y} = \frac{1}{\sqrt{5}} (\begin{array}{rcl} - 2 \\ 1 \\ 0 \end{array})

und

n_{z}

folgt daraus, dass

n_{x}

n_{y}

und

n_{z}

ein orthogonales Koordinatensystem bilden. Demnach ist

n_{z}

das Kreuzprodukt

n_{z} = n_{x} \times n_{y} = \frac{1}{3 \sqrt{5}} (\begin{array}{rcl} - 2 \\ - 4 \\ - 5 \end{array})

Bem.: der Z-Anteil ist auch <0; auf Deiner Skizze fehlt ein Minuszeichen.
.. weißt Du wie das Kreuzprodukt berechnet wird?

Gruß
Werner

Escaped aktiv_icon

01:32 Uhr, 18.02.2016

Viiiiiiiileeeen Dank WERNER!!

Danke für deine Zeit und ausführliche Lösung.

Dir noch eine schöne Woche :-)

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