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Umstellung einer Gleichung 3. Grades

Schüler

Tags: Gleichung 3. Grades

 
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Heman

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19:10 Uhr, 29.05.2021

Antworten
Wie stelle ich die Gleichung x(t)=t3-t nach t um?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
supporter

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19:21 Uhr, 29.05.2021

Antworten
Sei x(t)=a

t3-t-a=0

Cardanoformel!

de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln
Antwort
N8eule

N8eule

19:56 Uhr, 29.05.2021

Antworten
Hallo
Die Cardanoformel ist schon ein wenig komplex. In Schul-Kreisen wird die meist nicht wirklich gelehrt und vorausgesetzt.
Klassisch umstellen nach t wirst du nicht können.

Was man der Formel spontan ansieht: t ausklammern:
x(t)=t3-t=t(t2-1)=t(t+1)(t-1)

Hilft das schon? Sonst müsstest du schon noch tiefer zu verstehen geben, was Aufgaben-Kontext und Aufgabenstellung ist.

Heman

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20:38 Uhr, 29.05.2021

Antworten
Hallo supporter und N8eule,

vielen Dank für eure Antworten. Ich möchte eine parametrisierte Bewegungsgleichung lösen. Ich habe:

x(t)=9(t3-t)
y(t)=1,5(t4-4t)

Ich möchte x(t) nach t umstellen und anschließend in y(t) einsetzen. Ich scheitere leidere schon bei der ersten Umstellung nach t...
Antwort
N8eule

N8eule

21:00 Uhr, 29.05.2021

Antworten
Auf die Gefahr hin, dass ich mich wiederhole, es stand eigentlich schon klar lesbar:
Klassisch umstellen nach t wirst du nicht können.

Antwort
Roman-22

Roman-22

11:20 Uhr, 30.05.2021

Antworten
> Ich scheitere leidere schon bei der ersten Umstellung nach t...

Das ist nicht verwunderlich, ist doch die Cardano-Formel recht unhandlich und dir vermutlich auch nicht geläufig.
Es darf auch bezweifelt werden, ob dir die Lösung
B
wirklich weiter helfen würde.
Ganz abgesehen davon, dass man für |x|<23 (was sich für |t|<233 ergibt) Mehrdeutigkeiten hat und daher alle drei Lösungen für t berücksichtigen müsste, was die Sache weiter verkompliziert.
B2

Vielleicht erzählst du uns besser mal, woher dieses Ding stammt und was du letztendlich damit vor hast. Bekanntlich führen ja oft recht unterschiedliche Wege zum Ziel und womöglich benötigst du gar keine geschlossene Darstellung in kartesischen Koordinaten, um das deine zu erreichen.
Heman

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12:35 Uhr, 30.05.2021

Antworten
Hallo Roman,

vor allem, weil ich dann noch t bei y(t) einsetzen müsste. Die Aufgabe lautet wie folgt:

Ein Boot fährt auf einem bestimmten Kurs, der durch die folgende parametrisierte Bewegungsgleichung beschrieben wird:

s(t) ausgedrückt durch x- und y- Koordinaten:
x(t)=9(t3-t)
y(t)=1,5(t4-4t)

t Einheit [h]
x in [km], West-Ost Richtung
y in [km], Süd-Nord Richtung

Um 5:50 Uhr fährt das Boot los, um 6:20 Uhr ist es am Punkt A(0,...). Um 8:55 Uhr hat es sein Ziel erreicht.

Fragen:
1. Sinnvoller Definitionsbereich für t mit Wertetabelle
2. Bewegungskurve in einem Koordinatensystem.

Ich habe schon die Funktionen x(t) und y(t) einzeln betrachtet (Kurvendiskussion) und anschließend die Ergebnisse in ein Koordinatensystem eingetragen. Hat mich aber zu keiner sinnvollen Lösung gebracht.

Die Betrachtung als Vektoren gelingt mir nicht, weil ich keinen Orts- und Richtungsvektor aus s(t) erstellen kann...

Mir fehlt die richtige Herangehensweise, dann bekomme ich bestimmt den Rest selbst hin.
Antwort
N8eule

N8eule

12:48 Uhr, 30.05.2021

Antworten
"Ich habe schon die Funktionen x(t) und y(t) einzeln betrachtet (Kurvendiskussion) und anschließend die Ergebnisse in ein Koordinatensystem eingetragen."
Zeig mal. Das sieht doch sehr danach aus, als sei das die geforderte
"2. Bewegungskurve in einem Koordinatensystem."
Herz, was willst du mehr?

Antwort
Roman-22

Roman-22

12:50 Uhr, 30.05.2021

Antworten
So wie die Aufgabe formuliert ist, ist sie nicht lösbar.
Es steht zwar da, dass t in Stunden erwartet wird, aber nicht, welcher Uhrzeit zB t=0h entspricht.
Der Angabe ist nur zu entnehmen, dass sich das Boot um 6:20 Uhr an einer Stelle mit der x-Koordinate Null befindet. Leider gibt es aber 3 solcher Stellen (y-Koordinaten 7,5; 0 oder -4,5), weswegen der geforderte "sinnvolle" Definitionsbereich nicht eindeutig angebbar ist.

Sollte durch eine zusätzliche Angabe diese Frage geklärt werden, ist für die Lösung sicher keine geschlossene Darstellung in kartesischen Koordinaten nötig.

Du sollst doch nur eine kleine Wertetabelle mit den zu bestimmten t-Werten gehörigen x- und y-Werten erstellen und mit deren Hilfe dann den Kurvenverlauf in ein Koordinatensystem eintragen.

> Ich habe schon die Funktionen x(t) und y(t) einzeln betrachtet (Kurvendiskussion) und anschließend die Ergebnisse in ein Koordinatensystem eingetragen.
Das klingt für mich jetzt so, als würdest du nicht wissen, wie man den Graph einer, durch eine Parameterdarstellung gegebenen Funktion zeichnet.
Du wählst einen beliebigen t-Wert (zB t=1,23 aber es darf auch gern ein anderer sein) und berechnest damit x(t) und y(t). Diese beiden Werte stellen nun die Koordinaten eines Punkts des gesuchten Graphen im xy-Koordinatensystem dar. Wenn du das für eine ganze Reihe von t-Werten machst, erhältst du eine Reihe von Punkten, die du dann so gut wie möglich mit ruhiger Hand zu einer Kurve verbindest.

P.S.: Hier noch die drei möglichen Verläufe der Bootsfahrt. Der Anfangspunkt (5:50 Uhr) ist jeweils in rot, der Endpunkt (8:55 Uhr) in grün eingezeichnet. Der blaue Punkt A ist jeweils einer, dessen x-Koordinate Null ist.
B3

Wenn wir von einer einigermaßen gleichbleibenden Geschwindigkeit des Bootes ausgehen, dann kommt eigentlich keine der drei Varianten infrage, da dann ja die Kurvenlänge vom blauen bis zum roten Punkt rund fünfmal so groß wie jene vom grünen bis zum blauen Punkt sein müsste. Das ist bei keiner der drei Möglichkeiten der Fall.

Es fehlt also noch irgend ein Angabestück. ZB die Forderung, dass A eine positive y-Koordinate haben soll.
Heman

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13:34 Uhr, 30.05.2021

Antworten
Ich habe dir mal meinen Graphen angehängt, hoffe, du kannst etwas erkennen.
Heman

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13:36 Uhr, 30.05.2021

Antworten
Tatsächlich habe ich das nicht gewusst, dass ich mir Werte für t aussuche und diese in x(t) und y(t) einsetzen kann.
Antwort
Roman-22

Roman-22

14:31 Uhr, 30.05.2021

Antworten
> Ich habe dir mal meinen Graphen angehängt, hoffe, du kannst etwas erkennen.
Nein. Es gibt in diesem Forum eine Größenbeschränkung für angehängte Grafiken -500 kB.
Also auf relevanten Ausschnitt zuschneiden, Auflösung verringern, Farbtiefe verringern, ...

> Tatsächlich habe ich das nicht gewusst, dass ich mir Werte für t aussuche und diese in x(t) und y(t) einsetzen kann.
So machst du es ja ähnlich, wenn du zB y(x)=x2 gegeben hast. Da wählst du dir eben verschiedene beliebige x Werte und berechnest zu jedem den y-Wert.
Bei einer Parameterdarstellung hängen x und y nicht direkt zusammen, sondern über den Umweg eines Parameters t.

Der erste Schritt zur Lösung deiner Aufgabe wäre es, den Punkt A(0/...) zu bestimmen. Dazu musst du den zugehörigen t-Wert aus der Gleichung x(t)=0, also 9(t3-t)=0 ermitteln. Diese Gleichung solltest du leicht lösen können, aber dummerweise gibt es drei Lösungen und, wie oben schon geschrieben, gibt die Angabe keinen Hinweis darauf, welche davon gemeint ist.
Heman

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17:23 Uhr, 30.05.2021

Antworten
Roman, ich habe den Rechenweg nachgerechnet und einen Graphen geschafft zu zeichnen. Woher weiss ich aber, wie ich den Startpunkt und Endpunkt berechne (du hast diese ja rot und grün gekennzeichnet)?
Antwort
Roman-22

Roman-22

22:17 Uhr, 30.05.2021

Antworten
> ich habe den Rechenweg nachgerechnet und einen Graphen geschafft zu zeichnen. Woher weiss ich aber, wie ich den Startpunkt und Endpunkt berechne (du hast diese ja rot und grün gekennzeichnet)

Ich weiß ja nicht, WAS du berechnet hast un dvon welchem Rechenweg du da schreibst.
Du solltest drei mögliche Werte für den Parameter t, welcher zum Punkt A(0/...) gehört ausgerechnet haben.
Wenn die Angabe wirklich nicht mehr her gibt, musst du dich halt für einen der drei Werte entscheiden. Damit hast du nun den t-Wert für die Uhrzeit 6:20 Uhr.
Der Startzeitpunkt war 5:50 Uhr, das ist also eine halbe Stunde früher und damit hast du auch schon den t-Wert für den roten Startpunkt und auch die untere Grenze für den in der ersten Teilaufgabe gesuchten "sinnvollen" Definitionsbereich.
Analog erhältst du aus der Uhrzeit 8:55 Uhr den t-Wert für den Endpunkt der Fahrt.

Übrigens sind meine grünen Endpunkte in den Zeichnungen ein wenig falsch, weil ich irrtümlich von der Uhrzeit 8:45 anstelle von 8:55 ausgegangen bin.

Im Anhang die richtigen Zeichnungen. Bei der dritten Variante legt das Boot eine Strecke von über 1000 Kilometer mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von fast 350 km/h zurück. Die Geschwindigkeit erhöht sich gegen Ende bis auf knapp 800 km/h. Aber selbst bei der "harmloseren" ersten Variante beträgt die Endgeschwindigkeit des Bootes noch immer fast 200 km/h.
Zur Information: Ein Speedboot bringt es auf eine Spitzengeschwindigkeit von rund 130 km/h, das schnellste Boot "H1 Unlimited" mit seinen 3000 PS auf ca. 320 km/h.
Das nenn ich also mal wieder eine schöne Praxisaufgabe aus dem Schulbereich ;-)
B

Heman

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23:11 Uhr, 30.05.2021

Antworten
Hi Roman,

ich habe Wertepaare berechnet, so dass ich "deinen" ersten Graphen zeichnen konnte. Was ich aber nicht voreinander bekomme, ist die Zuordnung der Zeiten zu den entsprechenden t-Werten. Ich weiss, dass das Boot um 6:20 Uhr im Punkt A(0,0) ist. Auch weiss ich, dass das Boot 30min früher losgefahren ist. Aber was ist denn der zugehörige t-Wert dazu? Ich muss im weiteren Verlauf auch noch den tiefsten Punkt (und zu welcher Zeit) ausrechnen. Ich bekomme das noch nicht hin. Es fehlt mir hier noch die Vorstellungskraft. Entschuldige, dass ich so viel nachfragen muss ...

Antwort
Roman-22

Roman-22

23:20 Uhr, 30.05.2021

Antworten
> ich habe Wertepaare berechnet, so dass ich "deinen" ersten Graphen zeichnen konnte.

Meine Zeichnungen zeigen alle den gleichen Graphen, aber eben nur für die drei möglichen unterschiedlichen Paramterintervalle. Beachte die unterschiedlichen Skalierungen.


> Ich weiss, dass das Boot um 6:20 Uhr im Punkt A(0,0) ist.

Woher weißt du, dass es der Punkt (0/0) (das wäre meine mittlere Variante)ist und nicht vielleicht (0/7,5) oder (0/-4,5)?
Laut deiner Angabe ist ja nur von A(0/...) die Rede!


> Auch weiss ich, dass das Boot 30min früher losgefahren ist. Aber was ist denn der zugehörige t-Wert dazu?

Na, da t laut Angabe in Stunden anzugeben ist, wie wäre es für den t-Wert des Startpunkts mit tA-0,5? Schließlich sind 30 Minuten 0,5 Stunden.
Heman

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23:26 Uhr, 30.05.2021

Antworten
ah, und dann ist der t-Wert um 8:55 Uhr 2,58, oder?
Antwort
Roman-22

Roman-22

23:29 Uhr, 30.05.2021

Antworten
> ah, und dann ist der t-Wert um 8:55 Uhr 2,58, oder?
Nur, weil du dich offenbar für tA=0 entschieden hast.
Generell gilt tEndpunkt=tA+2,583¯
Heman

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23:32 Uhr, 30.05.2021

Antworten
Klasse, wieder etwas verstanden, vielen Dank Roman! Vielleicht melde ich mich morgen noch einmal ...
Antwort
Roman-22

Roman-22

23:37 Uhr, 30.05.2021

Antworten
Was den tiefsten Punkt anlangt ... es handelt sich doch um kein U-Boot.
Und falls der am südlichsten liegen Punkt gemeint ist - du hast doch geschrieben, dass du für y(t)=.... schon eine Kurvendiskussion gemacht hast. Dabei hast du doch vl auch das Minimum von y(t) ermittelt?
Heman

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23:43 Uhr, 30.05.2021

Antworten
Ich meine den südlichsten Punkt. Ich habe als Minimum (1,-4,5) heraus. Zu t=1 gehört bei mir das Paar x=0 und y=-5. Das ist dann mein südlichster Punkt zur Zeit t=1, also um 7:20 Uhr.
Antwort
Roman-22

Roman-22

00:02 Uhr, 31.05.2021

Antworten
Ja, (0/-4,5) für t=1 um 7:20 Uhr ist richtig.
Die Uhrzeit natürlich nur unter der Annahme, dass A(0/0) sein soll.
Heman

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00:06 Uhr, 31.05.2021

Antworten
Einen hab ich noch ... ich muss die kürzeste Entfernung des Bootes zu einer Insel berechnen, diese hat den Koordinatenpunkt M(0,5). Wie kann ich das ausrechnen? Rückwerts ist zu kompliziert, also, wenn ich y(t)=5 nach t umstellen wollen würde.
Antwort
Roman-22

Roman-22

00:48 Uhr, 31.05.2021

Antworten
Mit deiner Annahme (0/0) (rote Kurve in nachstehender Zeichnung) wäre der minimale Abstand trivialerweise am Beginn der Reise.
Diese neue Zusatzaufgabe legt den Verdacht nahe, dass der Punkt A(0/7,5) sein sollte und nicht (0/0) (dann gehörte der orange strichlierte Teil noch zur Bahn des Bootes).
Vielleicht möchtest du den genauen Angabetext nochmals durchlesen, ob da nicht vielleicht doch ein Hinweis darauf zu finden ist, welche der drei möglichen Lösungen für den Punkt A du wählen sollst.

Allgemeine Vorgehensweise zur Ermittlung des kürzesten Abstand:
Du hast zwei Punkte, nämlich (0/5) und den (allgemeinen) Kurvenpunkt (x(t)/y(t)).
Du kennst sicher die Formel, um den Abstand zweier Punkte zu ermitteln (Pythagoras!). Wende diese auf diese beiden Punkte an und du erhältst einen Ausdruck für den Abstand, der noch von t abhängig ist. Damit nun eine Extremwertaufgabe durchführen und das Minimum ermitteln.
Solltest du an A(0/0) festhalten wollen, dann müsstest du noch beachten, dass zu einer Extremwertaufgabe immer auch die Untersuchung der Randwerte dazu gehört. Denn dort könnten durchaus noch kleinere Werte auftreten, auch wenn die Ableitung dort nicht verschwindet.
Die bei der Bestimmung des minimalen Abstands entstehende Gleichung siebenten Grades ist allerdings nur mit Technologieeinsatz lösbar. Darfst du einen Taschenrechner mit "nsolve" Befehl oder Vergleichbarem nutzen?
Ansonsten würde ich vorschlagen, dass du einmal einen Scan von der genauen Aufgabenstellung hier postest (500 kB Limit beachten).


B
Heman

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15:57 Uhr, 31.05.2021

Antworten
Ich mag die Aufgabe nicht in Gänze hier hochladen, weil es sich um meine Abiaufgabe handelt. Nicht, dass ich meine Leistung aberkannt bekomme. Ich möchte ja so viel wie möglich verstehen und dann selber rechnen. Ich habe noch einmal die Koordinate A auf (0 / 7,5) gesetzt, jetzt passen die anderen Werte auch viel besser. Ich habe folgende Lösungen:

Start: t=-1,5, Uhrzeit 5:50, (-16,9 / 16,6)
Punkt A: t=-1, Uhrzeit 6:20, (0 / 7,5)
südl. Punkt: t=1, Uhrzeit 8:20, (0 / -4,5)
Ziel: t=1,58, Uhrzeit 8:55, (21,3 / -0,1)

Im letzten Aufgabenteil heisst es: Ermitteln sie, wie nah das Boot an M(0/5) herankommt, sonst ist immer von "berechnen" die Rede. Vielleicht muss ich nur eine Annäherung machen?


Antwort
Roman-22

Roman-22

16:53 Uhr, 31.05.2021

Antworten
> Ich habe noch einmal die Koordinate A auf (0/7,5) gesetzt, jetzt passen die anderen Werte auch viel besser.

Naja, aber wenn in der Angabe tatsächlich kein Hinweis darauf zu finden ist, welcher der drei möglichen Punkte der Punkt A sein soll, dann ist das ein grober Schnitzer des Aufgabenerstellers.
Aber auch in meiner letzten Übersicht der drei Varinaten hat sich ein Fehler eingeschlichen und zwar der, dass diese Zeichnungen von eine Endzeit von 9:55 ausgehen und nicht von 8:55.
Die von dir genannten Werte sind richtig. Bei Variante 1 startet das Boot jetzt mit rund 58 km/h und hat am Ende eine Geschwindigkeit von etwas über 61 km/h. Flott, aber realistisch.
Bei der dritten Variante hätte das Boot aber immer noch eine unrealistische Endgeschwindigkeit von über 430 km/h.

> Vielleicht muss ich nur eine Annäherung machen?
Exakt ist die oben erwähnte Gleichung siebenten Grades ohnehin nicht zu lösen.
Aber auch eine Näherungslösung ist idR "Berechnung" (abgesehen von "Zeichnen und abmessen"). Die Frage ist nur, wer oder was diese Berechnung durchführen soll, du selbst oder ein Hilfsmittel wie etwas ein Mathe-Programm oder ein TR mit nsolve, etc. Welche Hilfsmittel du verwenden darfst, das musst du ja selbst wissen.
Die Lösung "zu Fuß" mittels eines Näherungsverfahrens, zB Newton, ermitteln zu müssen, hielte ich allerdings für unnötige Quälerei.
Der gesuchte Punkt und auch dessen Abstand zur "Insel" ist in meiner letzten Zeichnung ja eingetragen.

Heman

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14:29 Uhr, 01.06.2021

Antworten
Hallo Roman,

ich habe folgende graphische Lösung für die Entfernung. Der minimale Abstand muss sich im Bereich von t=-1 und t=-0,58 befinden. So habe ich Wertepaare (x/y) für die folgenden t-Werte gemäß Wertetabelle errechnet:

t=-0,9: (1,5 / 6,4)
t=-0,8: (2,6 / 5,4)
t=-0,7: (3,2 / 4,6)
t=-0,6: (3,5 / 3,8)

Nach dem Einzeichnen der Punkte und dem Abstandmessen zu (0/5) ist die Koordinate bei t=-0,9 mit einer Länge von 4,21 LE die geringste Entfernung.

Ich habe auch noch für t=-0,95 gemessen, aber ich hoffe, die Genauigkeit für t=-0,9 ist ausreichend genug.

So spare ich mir eine numerische Lösung, ich soll ja "nur" ermitteln.
Heman

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18:26 Uhr, 01.06.2021

Antworten
Roman,

ich wollte nur abschließend noch vielen Dank sagen, dafür dass du mich so gut durch diese Augabe geleitet hast. Klasse!
Antwort
Roman-22

Roman-22

20:36 Uhr, 01.06.2021

Antworten
> So spare ich mir eine numerische Lösung, ich soll ja "nur" ermitteln.

Nun, das musst du wissen, wie das bei euch vereinbart ist. Ich würde zwischen "berechnen" und "ermitteln" keinen wesentlichen Unterschied im Genauigkeitsanspruch sehen.
Ich hätte mir vorstellen können, dass das reine Probierverfahren vl nicht so goutiert wird und dass zumindest das Aufstellen der Distanzfunktion (von welcher dann eben ein Minimum gesucht werden sollte) erwartet wird. Andererseits hätte ich dann auch angenommen, dass euch ein TR mit nsolve oder Ähnliches zur Verfügung steht. Und obwohl du die explizite Frage danch nicht beantwortet hast, scheinst du ein solches Hilfsmittel nicht verwenden dürfen/wollen.

Etwas genauere Werte für den Punkt P mit der minimalen Distanz zu (0/5) sind:

tP-0,922226
P(1,240848/6,618383)
Distanz2,039331

Bei der Angabe der Distanz hast du vermutlich die Wurzel verschludert.

Heman

Heman aktiv_icon

00:34 Uhr, 02.06.2021

Antworten
Ich habe mit onlinemathe.de auch die selbe numerische Lösung zusätzlich zu meiner graphischen Lösung. Tatsächlich btauche ich wohl keinen Taschnrechner, ich muss meine Lösung ja in einem Vortrag vorstellen. Ich darf (muss) Internetrecherche betreiben für meine Lösungen, so werde ich meine genutzten Quellen angeben und die Ergebnisse präsentieren.

Ich habe tatsächlich vergessen, die Wurzel zu ziehen.