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Umwandlung Parameterform in Normalenform- beweisen

Schüler Gymnasium,

Tags: Analytische Geometrie, Beweisaufgabe, Ebenenformen

anonymous

17:22 Uhr, 03.06.2016

Hallo an alle zusammen,

hier mal die Aufgabe:

,,Gegeben sei die Parameterform einer Ebene, die in die Normalenform umgewandelt werden soll.
Wir haben im obigen Beispiel einen Normalenvektor einer Ebene

E

dadurch ermittelt,
dass wir einen Vektor angegeben haben, der zu den beiden Richtungsvektoren

\vec{u}

und

\vec{v}

der Ebene

E

orthogonal ist. Beweisen Sie, dass ein derartiger Vektor auch zu jedem
anderen Vektor von

E

orthogonal ist. Verwenden Sie hierzu den Stützvektor

\vec{a}

sowie
einen beliebigen Ortsvektor

\vec{x}

eines Punktes der Ebene

E

. Drücken Sie

\vec{x}

mit

\vec{u}

und

\vec{v}

aus."

Mein Ansatz:

Die allgemeine Parameterform lautet

E : \vec{x} = \vec{a} + r \vec{u} + s \vec{v}

Für den Normalenvektor

\vec{n}

muss gelten:

\vec{n} \cdot \vec{u} = 0

bzw.

\vec{n} \cdot \vec{v} = 0

Nun soll ich zeigen, dass

\vec{n} \cdot \vec{x} = 0

\Rightarrow \vec{n} \cdot (\vec{a} + r \vec{u} + s \vec{v}) = 0

\Leftrightarrow \vec{n} \cdot \vec{a} + \vec{n} \cdot r \vec{u} + \vec{n} \cdot s \vec{v} = 0

Um ehrlich zu sein, weiß ich nicht ganz, wie ich weitermachen soll ...
Vielen Dank für alle Tipps/Antworten im Voraus!! :-)

LG
NeymarJunior

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

20:02 Uhr, 03.06.2016

Hallo
dein

\vec{x}

ist doch kein Vektor in der Ebene! sondern ein Ortsvektor zu einem Punkt der Ebene.
einen Vektor in der Ebene ist

v = \vec{a} - \vec{x}

wobei du für

\vec{x}

eine beliebiges

r, s

nehmen kannst,
das steht auch deutlich in der Aufgabe. Also immer Aufgaben sehr sorgfältig lesen und sehen, ob man alles wie dort gesagt macht!
Gruß ledum

anonymous

22:10 Uhr, 03.06.2016

. .

. und explizit noch zur "Wie weitermachen-Frage":

\vec{n} ⋆ \vec{a} + \vec{n} ⋆ (r \cdot \vec{u}) + \vec{n} ⋆ (s \cdot \vec{v}) = 0

umsortieren zu

\vec{n} ⋆ \vec{a} + r \cdot \vec{n} ⋆ \vec{u} + s \cdot \vec{n} ⋆ \vec{v} = 0

(Beachte, dass

r

und

s

keine Vektoren sind, und daher das Kommutativgesetz hier gilt)

Und was weißt Du laut Aufgabenstellung über

\vec{n} ⋆ \vec{u},

bzw.

\vec{n} ⋆ \vec{v}

?

...nur dass

\vec{n} ⋆ \vec{a}

hier stört;

das erledigt sich, wenn Du ledums Antwort hinzuziehst.. (Denn Dein Ansatz ist falsch)

anonymous

06:42 Uhr, 04.06.2016

Hallo ledum und Imeap,

erst einmal möchte ich mich für eure Antworten bedanken!

\vec{z}

sei ein beliebiger Vektor in

E

, der nicht kollinear mit den zwei Richtungsvektoren

\vec{u}

und

\vec{v}

ist.

(I) \vec{z} = \vec{a} - \vec{x}

(I I) \vec{x} = \vec{a} + r \vec{u} + s \vec{v}

(I I)

(I)

einsetzen

\Rightarrow (I I I) \vec{z} = - r \vec{u} - s \vec{v}

Es muss gelten:

\vec{n} \circ \vec{z} = 0 \Rightarrow \vec{n} \circ (- r \vec{u} - s \vec{v}) = 0 \Leftrightarrow - r \cdot \vec{n} \circ \vec{u} - s \cdot \vec{n} \circ \vec{v} = 0

Zu deiner Frage, Imeap:

\vec{n} \circ \vec{u} = \vec{n} \circ \vec{v} = 0

.

Damit kommt bei der Gleichung raus:

0 = 0

.

Ergo habe ich gezeigt, dass

\vec{n}

mit jedem anderen beliebigen Vektor

\vec{z}

der Ebene

E

orthogonal ist.

Wäre der Beweis so richtig? :-)

Viele Grüße
NeymarJunior

ledum aktiv_icon

11:29 Uhr, 04.06.2016

Hallo
ja
Gruß ledum

anonymous

14:07 Uhr, 04.06.2016

Cool, danke!! :-)

LG
NeymarJunior

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