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Umwandlung in Parameterform

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Sonstiges

Tags: Polarkoordinaten, Sonstiges, Umwandlung

studentxy aktiv_icon

01:37 Uhr, 08.02.2014

Hallo :-)
Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

Gegeben ist die Kurve mit der Funktionsgleichung:
x³+y²(x-1)=0
Bestimmen Sie die Funktionsgleichung in Polarkoordinaten.

ich habe nun die Gleichung so umgeschrieben:
r³cos³φ+r²sin²φ(rcosφ-1)=0
Nun müsste ich nach

r

auflösen, richtig?
Hier komme ich leider nicht weiter,ich bin mir auch total unsicher ob ich überhaupt auf dem richtigen Weg bin. Außerdem habe ich leider keine Lösungen.

Vielleicht kann mir ja jemand weiterhelfen,
danke schonmal :-)

pleindespoir aktiv_icon

03:44 Uhr, 08.02.2014

x ³ + y ² (x - 1) = 0

x ³ + x y ² - y^{2} = 0

x ³ + x y ² = y^{2}

(r \cdot \cos φ)^{3} + r \cos φ \cdot r^{2} \sin^{2} φ = (r \sin φ)^{2} ∣ \frac{1}{r^{2}}

r \cdot (\cos^{3} φ + \cos φ \cdot \sin^{2} φ) = \sin^{2} φ

r = \frac{\sin^{2} φ}{\cos^{3} φ + \sin^{2} φ \cdot \cos φ}

r = \frac{\sin}{\cos} \cdot \frac{\sin φ}{\cos^{2} φ + \sin^{2} φ}

r = \frac{\sin}{\cos} \cdot \frac{\sin φ}{1}

r = \tan φ \cdot \sin φ

Edit :

irgendwie ist da noch ein Würmchen, denn bei der Konstuktion zur Darstellung stören die negativen Radien etwas - und der Graph sieht auch nicht so aus, wie die ursprüngliche Funktion.

Aber es ist ja schon früh am Tag ...

Respon

11:00 Uhr, 08.02.2014

Die Ausgangsfunktion ( wobei "Funktion" ja hier streng genommen nicht richtig ist )
hat die Definitionsmenge

[0; 1)

.
Daraus folgt für

φ

der Bereich

(- \frac{π}{2}; + \frac{π}{2})

.
Für diesen Bereich ist aber

r = tan (φ) \cdot sin (φ)

immer positiv.
Der Graph beider Darstellungen im entsprechenden Intervall stimmen überein.

pleindespoir aktiv_icon

13:18 Uhr, 08.02.2014

ich habe versucht die polare darstellung mühevoll mit geogebra umzusetzen - das hat wohl nicht recht funktioniert.

Hast Du ne Ahnung wie das "leicht" geht oder wo das erklärt ist?

Ich habe einen Kreis konstruiert, dessen Radius sich in Abhängigkeit von phi (schieberegler) ändert und einen Strahl, der aus dem Ursprung mit dem Winkel phi kommt. Dem Schnittpunkt habe ich die Spur angemacht und dem Schieberegler die animation.

Geht das auch weniger umständlich ?

Und vielleicht auch so, dass dann der richtige Graph erscheint ?

studentxy aktiv_icon

15:58 Uhr, 08.02.2014

Danke ihr habt mir sehr geholfen!

pleindespoir aktiv_icon

16:54 Uhr, 08.02.2014

Jetzt habe ich es geschafft, dass mein GeoGebra - Konstrukt so aussieht wie bei Wolfram.

Ein Vorzeichenfehler und einmal sin/cos verwechselt ... tja von wegen frühe Morgenstunde !

----

Zur Definitionsmenge kommt man übrigens, indem man die implizite Funktion

x ³ + y ² (x - 1) = 0

nach y auflöst:

x ³ = y ² (1 - x)

y ² = \frac{(1 - x)}{x^{3}}

y = \sqrt{\frac{1 - x}{x^{3}}}

Das ergibt dann in Kombination vier Fälle:

x^{3} \geq 0 \land 1 - x \geq 0 \to x ∣ (0, 1)

x^{3} \geq 0 \land 1 - x < 0 \to

Bruch unter der Wurzel hat verschiedene Vorzeichen und ist daher negativ

x^{3} < 0 \land 1 - x \geq 0 \to

Bruch unter der Wurzel hat verschiedene Vorzeichen und ist daher negativ

x^{3} < 0 \land 1 - x < 0 \to

kann nie erfüllt sein, da sich die Bedingungen gegenseitig ausschliessen

wenn

x = \cos φ

, dann darf

φ

nur Werte annehmen, für die gilt:

\cos φ \geq 1

, was für das Intervall

(- \frac{π}{2} . . . + \frac{π}{2})

zutrifft.

Somit ist der Definitionsbereich für

φ

abgesteckt und "negative Radien" werden vermieden.

---

Vielen Dank für das Einstellen der Aufgabe - ich habe enorm dabei profitiert !

Respon

02:57 Uhr, 09.02.2014

Falls das Problem "Graph einer Funktion in Polarkoordinatenform" noch nicht zufriedenstellend gelöst ist.
Man geht so vor:
Gegeben ist eine Funktion in der Form

r = f (φ)

Daraus folgt für die Darstellung von

x

und

y

x = r \cdot cos (φ) = f (φ) \cdot cos (φ)

y = r \cdot sin (φ) = f (φ) \cdot sin (φ)

Im Beispiel war die Funktion

r = tan (φ) \cdot sin (φ)

also

x = tan (φ) \cdot sin (φ) \cdot cos (φ)

y = tan (φ) \cdot sin (φ) \cdot sin (φ)

Für die grafische Darstellung verwendet man den Befehl
Kurve

[]

In der eckigen Klammer stehen folgende Eintragungen
Kurve

[

x-Darstellung, y-Darstellung, Bezeichnung des Parameters ( hier

φ),

Startwert, Endwert

]

Bei uns also
Kurve

[

tan (φ) \cdot sin (φ) \cdot cos (φ), tan (φ) \cdot sin (φ) \cdot sin (φ), φ, - \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]

Sollte die Bezeichnung

φ

schon vergeben sein, weicht man auf

z . B

. "t" aus.

pleindespoir aktiv_icon

07:05 Uhr, 09.02.2014

Vielen Dank, Respon!

Ich habe den Befehl Kurve nicht gekannt.

Damit wäre es ja einfach gewesen ...

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