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Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

Copex aktiv_icon

15:53 Uhr, 14.01.2019

Hallo,

eine komplexe Lösung der Art:

y (x) = c_{1} \cdot e^{(2 + i) x} + c_{2} \cdot e^{(2 - i) x}

lässt sich nach einer Formel zu einer reellen Lösung umschreiben:

y (x) = c_{1} e^{R e (λ_{1}) \cdot x} \cdot cos (I m (λ_{1}) \cdot x) + c_{2} e^{R e (λ_{1}) \cdot x} \cdot sin (I m (λ_{1}) \cdot x)

Wie macht man das jedoch, wenn die Lösung folgende Form hat?

y (x) = c_{1} \cdot e^{(2 + i) x} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) + c_{2} \cdot e^{(2 - i) x} \cdot (\begin{matrix} i \\ 1 \end{matrix})

Die Lösung soll sein

[e^{2 x} \cdot (\begin{matrix} cos (x) \\ - sin (x) \end{matrix}), e^{2 x} \cdot (\begin{matrix} sin (x) \\ cos (x) \end{matrix})]

Mein Ansatz wäre

e^{(2 + i) x} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = e^{2 x} \cdot e^{i x} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ i \end{matrix}) = e^{2 x} \cdot (\begin{matrix} cos (x) + i sin (x) \\ i cos (x) - sin (x) \end{matrix})

Nun habe ich aber immernoch komplexe Zahlen drinnen und komme nicht wirklich weiter.

Ich bin für jede Hilfe dankbar!

Viele Grüße

Coepx

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

00:04 Uhr, 15.01.2019

Hallo
beachte, dass in der Komplexen Form auch die

C

komplex sind, du hast dann später andere Konstanten, die sich aus den komplexen ergeben und reel lsind.
also adieu mal einfach mit C1=a+ib und C2=c+id
Gruß ledum

Copex aktiv_icon

18:45 Uhr, 16.01.2019

Hallo Ledum,

Danke für die Antwort, jedoch versteh ich es noch nicht wirklich.

Setze ich C_1=a+ib ein komme ich im Vektor ja auf:

(\begin{matrix} (cos (x) + i sin (x)) \cdot (a + i b) \\ (i cos (x) - i sin (x)) \cdot (a + i b) \end{matrix}))

Hier bleib die komplexe Komponente ja immer noch stehen...

Viele Grüße

ledum aktiv_icon

19:37 Uhr, 16.01.2019

Hallo
du musst schon beide Lösungen nehmen
beachte _sinx=(e(ix)-e^(-ix))/2i entsprechend

cos,

damit kannst du aus den efkt. sin und

cos

herstellen aber natürlich brauchst du beide!
Gruß ledum

Copex aktiv_icon

22:27 Uhr, 16.01.2019

Hallo Ledum,

nochmals Danke für deine Antwort, jedoch versteh ich es leider immer noch nicht!

Ich habe jetzt e^(ix) und e^(-ix) in die Vektoren der Lösungen gezogen und dann versucht die sinus und cosinus als Funktionen mit

e

auszudrücken und so umzuformen. Komme aber einfach nicht zum Ziel!
Kannst du mir eventuell Schritt für Schritt erklären, was zutun ist?

Viele Grüße und besten Dank

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