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Umwandlung von Zahlensysteme

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Tags: Sonstig, Umrechnung, Zahlensystem

 
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mariem

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07:33 Uhr, 16.09.2021

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Hallo,

ich gucke folgendes :

Betrachten Sie die übliche Darstellung von unbeschrifteten ganzen Zahlen, wobei die Ziffern aufeinanderfolgenden Basispotenzen in absteigender Reihenfolge entsprechen. Beweisen Sie, dass es in einer solchen Darstellung ausreicht, um eine Zahl von einem p-basierten System in ein q-basiertes System umzuwandeln, wobei p=qn und n positive ganze Zahlen sind, jede Ziffer der Zahl aus der ursprünglichen Basis auszudrücken System p zum Basissystem q, unter Verwendung von n der Anzahl der Stellen des Basissystems q. Formulieren Sie die Regel und im umgekehrten Fall und beweisen Sie diese, wenn die Umwandlung von einem auf q basierenden System in ein auf p basierendes System erfolgt.


Also wir haben eine Zahl in der Form p0+p1p+p2p2+....
Ausserdem haben wir p=qn und somit ist die Zahl gleich p0+p1qn+p2q2n+....
Ist das die Darstellung im System mit Basis q ?
Also wenn wir m Ziffern brauchen für die Darstellung im System mit Basis p, kann mandie Zahl auch mit m Ziffer im System mit Basis q darstellen.

Ist das soweit richtig?


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HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

08:56 Uhr, 16.09.2021

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> Ist das soweit richtig?

Nein, bei der Ziffernanzahl liegst du komplett daneben.


Der Spezialfall p=qn bedeutet, dass jede Ziffer im p-System genau n Ziffern im q-System entspricht. Brauchen wir also m Ziffern im p-System, so brauchen wir maximal mn Ziffern im q-System. "Maximal" deswegen, weil die vorderste Ziffer im q-System nicht unbedingt genau n Ziffern umfassen muss wegen führender Nullen, die man auch weglassen kann. Genauer gesagt bewegt sich die Anzahl m~ der q-Ziffern im Bereich n(m-1)+1m~mn.

Prominentes Beispiel ist die Umwandlung von Hexadezimalzahlen in Binärzahlen, z.B

7A2D = 0111 1010 0010 1101

Hier sieht man: 4 Hexadezimalziffern entsprechen nicht 16, sondern in dem Fall eigentlich nur 15 Binärziffern, da man die eine führende Null auch weglassen kann, es verbleibt 111 1010 0010 1101 .

mariem

mariem aktiv_icon

09:58 Uhr, 16.09.2021

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Also im Fall p=qn entspricht jede Ziffer im p-System genau n Ziffern im q-System, weil wir bei der Darstellung im p-System das p mit qn ersetzen? Oder wie kommt man auf das Ergebnis?

Im umgekehrten Fall wenn wir von q-System zum p-System gehen, dann werden jeweils n Ziffern von der q-System Darstellung mit p ersetzt?
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

10:30 Uhr, 16.09.2021

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Zur ersten Frage habe ich eigentlich alles gesagt - wenn du da weitere Erklärungen brauchst, muss ein besserer Didaktiker ran, der dir das nochmal erklärt.


> Im umgekehrten Fall wenn wir von q-System zum p-System gehen, dann werden jeweils n Ziffern von der q-System Darstellung mit p ersetzt?

Ja, und zwar von HINTEN beginnend. Vorn müssen dann ggfs. Nullen rangesetzt werden, um auch bei der vordersten Stelle auf genau n Ziffern im q-System zu kommen. Schau dir einfach nochmal mein Beispiel mit der Hexadezimalzahl an, das kann man auch "rückwärts" lesen, d.h., von der Binärzahl ausgehend.

mariem

mariem aktiv_icon

11:47 Uhr, 16.09.2021

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Also ich habe verstanden dass wenn man eine Zahl im p-System hat die m Ziffern hat, da jede Ziffer im p-System n Ziffer braucht um im q-System gargestellt zu werden, hat die urspruengliche Zahl vom p-System in q-System maximal mn Ziffern.
Die erste Ziffer von der Zahl im p-System kann im q-System mit Nullen anfangen, deshalb kann man diese auch weglassen. Um eine untere Schranke zu bekommen fuer die Anzahl der Ziffern im q-System, nehmen wir an dass die erste Ziffer im p-System 0 ist, also betrachten wir nur noch m-1 Ziffern und so bekommen wir die untere Schranke n(m-1).

Habe ich bisher alles richtig verstanden?

In der Aufgabestellung wird verlangt zu beweisen dass jede Ziffer der Zahl aus der ursprünglichen p-Basis zum Basissystem q, unter Verwendung von n der Anzahl der Stellen des Basissystems q dargestellt werden kann. Hat man das mit der obigen Beschreibung bewiesen? Oder muss man das formell irgendwie beweisen?


Was der umgekehrten Fall angeht :
Wir betrachten die Zahl im q-System, und zwar von Ende zum Anfang. Wir betrachten jeweils immer n Ziffern und diese entsprechen dann immer eine Ziffer im p-System. Falls am Anfang keine n-Ziffer sind (da man die Nullen weglassen konnte) schreiben wir soviele Nullen am Anfang dazu bis wir n Ziffern bekommen, diese bilden dann wieder eine Ziffer im q-System.

Ist das die Regel in den umgekehrten Fall? Und wie kann man das beweisen?
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

14:49 Uhr, 16.09.2021

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> In der Aufgabestellung wird verlangt zu beweisen dass jede Ziffer der Zahl aus der ursprünglichen p-Basis zum Basissystem q, unter Verwendung von n der Anzahl der Stellen des Basissystems q dargestellt werden kann.

Es ist an sich eine bekannte (und bei euch auch schon hoffentlich) bewiesene Eigenschaft solcher Stellenwertsysteme, dass man mit maximal n-stelligen Zahlen im q-System genau die Zahlen 0,1,,qn-1 abbilden kann.

Nun sind das wegen p=qn genau die Zahlen 0,1,,p-1, was nun just die möglichen Ziffern im p-Stellenwertsystem sind - voila, fertig!
mariem

mariem aktiv_icon

20:46 Uhr, 16.09.2021

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Könntest du mir den Teil "...dass man mit maximal n-stelligen Zahlen im q-System genau die Zahlen 0,1,...,qn-1 abbilden kann" erklären? Ich habe das nicht so richtig verstanden.

Also im q-System kann man die Zahlen 0,1,...,qn-1 mit Hilfe von maximal n Ziffern darstellen? Oder was bedeutet das?
Antwort
HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

21:56 Uhr, 16.09.2021

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> Also im q-System kann man die Zahlen 0,1,,qn-1 mit Hilfe von maximal n Ziffern darstellen?

Na genau das habe ich doch gerade gesagt - hältst du mich für so senil, dass du hier Bestätigung einforderst, ob ich das wirklich so gemeint habe?

Insgesamt scheinst du sehr wenig Eigenschaften von Stellenwertsystemen zu kennen, nach diesen Nachfragen zu urteilen.
Frage beantwortet
mariem

mariem aktiv_icon

17:52 Uhr, 17.09.2021

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Habe mir alles nochmal durchgelesen und habe es jetzt verstanden! Vielen Dank für Deine Hilfe!! :-)