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Unabhängig/abhängig? - Stochastik

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: unabhängig

Mario1993 aktiv_icon

15:14 Uhr, 22.09.2012

Hallo, ich hänge an dieser zweigeteilten aufgabe:
Ein Glücksrad mit $20$ gleich großen Sektoren, welche die Nr. $1, . .$ . $, 20$ tragen, wird einmal gedreht.

$1)$ Zeige, dass die Ereignisse A und $B$ unabhängig sind.
$A =$ Die Nr. ist kleiner als 6
$B =$ Die Nr. ist durch 5 teilbar

$2)$ Wie viele Ereignisse $B$ mit der Eigenschaft $P (B) = \frac{1}{5}$ git es, die von A unabgängig sind.

$1)$ war kein Problem: $P (A$ in Abhängigkeit von $B) : \frac{1}{4}$ ODER $P (B$ in Abhängigkeit von $A) : \frac{1}{5} \to A, B$ unabhängig, da $P (A) = \frac{1}{4}$ ODER da $P (B) = \frac{1}{5}$

$2)$ Verstehe ich nicht! Könnte mir diese jmd. bitte ausführlich erklären? Ich habe bisher nur gefunden, dass man aus $P (B) =$ (1)/(5)folgern könnte, dass $B 4$ Elemente haben müsste, da Omega $= 20$ sei. Verstehe aber schon diesen Schritt ( wieso nun genau 4 und nicht zB 5 Elemente) nicht. Bitte um Erklärung von Teilaufgabe $2)$

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Mario1993 aktiv_icon

19:07 Uhr, 22.09.2012

ist wirklich dringend

anonymous

21:47 Uhr, 22.09.2012

nur ganz kurz:
wenn $P (B) = \frac{1}{5}$ ist, dann heißt dies:
(Anzahl der für $B$ günstigen Ergebnisse)/(Anzahl aller möglichen Ergebnisse)
= (Anzahl der für $B$ günstigen Ergebnisse)/20 $= \frac{1}{5}$
dann muss $| B | = 4$ sein

Mario1993 aktiv_icon

21:50 Uhr, 22.09.2012

ok, dann handelt es sich dabei um eine erweiterung mit $4!$ dann weiß ich also, dass es von allen ereignissen gesamt nur 4 günstigt für $B$ sind. Wie kann ich nun diese Information mit der Aufgabenstellung verbindne, um herauszufinden, wie viele Ereignisse $B$ mit dieser Eigenschaft es gibt, die von A unabgängig sind.

anonymous

22:02 Uhr, 22.09.2012

ich komme trotzdem nochmal zum ersten Teil, deine Begründung ist etwas unklar.
$A, B$ unabhängig, genau dann, wenn gilt: $P (A \cap B) = P (A) \cdot P (B)$

die Verhältnisse sind ja einfach:
$A = {1,2, ...,5} | A | = 5$
$B = {5,10,15,20} | B | = 4$
$A \cap B = {5} | A \cap B | = 1$

$P (A) = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}; P (B) = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}; P (A \cap B) = \frac{1}{20}$
da $\frac{1}{5} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{20}$ sind die Ereignisse A und $B$ unabhängig

Mario1993 aktiv_icon

22:06 Uhr, 22.09.2012

wieso mulitplizierst du beide wahrscheinlichkeiten miteinander? habe bisher immer zur prüfungen folgendes gemacht:
Wenn P(Wahrscheinlichkeit von $A$ in Abhängigkeit von $B) =$ Wahrscheinlichkeit A ist, dann sind beide Ereignisse unabhängig. Ich weiß gerade nicht, wieso ich das per Formeleditor hier reinschreibe, aber es würde erst $P,$ dann ein kleines $B$ und dann in Klammern A stehen für "P(Wahrscheinlichkeit von $A$ in Abhängigkeit von B)" und wenn diese Wahrscheinlichkeit = der Wahrscheinlichkeit von $P (A)$ ist, dann sind beide Ereignisse unabhängig.

Wie kann ich diese Info nun Nutzen zum weiterrechnen?

anonymous

22:15 Uhr, 22.09.2012

A und $B$ sind genau dann unabhängig, wenn $P_{B} (A) = P (A)$
nun gilt:
$P_{B} (A) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}$
dann ist im Falle der Unabhängigkeit:
$P_{B} (A) = P (A) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}$
bzw.
$P (A) \cdot P (B) = P (A \cap B)$

Mario1993 aktiv_icon

22:16 Uhr, 22.09.2012

stimmt, habe diese formel mal als beweis gelesen!
wie verwende ich nun die gewonnene information weiter für die bearbeitung von nr 2?

anonymous

22:30 Uhr, 22.09.2012

die Sportschau ruft! Trotzdem:
da $P (A) = \frac{1}{4}$ und $P (B) = \frac{1}{5}$ ist, muss $P (A \cap B) = \frac{1}{20}$ sein, $d . h$ . A und $B$ müssen genau ein Element gemeinsam haben.
Also nimmst du von den $20$ Nummern die Nummern 1 bis 5 weg: es verbleiben $15$ Nummern; darunter wählst du 3 aus: das sind $15$ über $3 = 455$ Möglichkeiten.
Die 3 ausgewählten Nummern ergänzt du mit 1 (mit $2,$ mit 3,...,mit $5)$ .
Das sind dann $5 \cdot 455 = 2275$ Mengen (Ereignisse).
Bedenke, dass es insgesamt $2^{20} = 1048576$ Ereignisse gibt!

Mario1993 aktiv_icon

22:38 Uhr, 22.09.2012

vielen dank!! meine letzte frage ist hier, falls du später oder morgen noch etwas zeit haben solltest: www.onlinemathe.de/forum/Gefaelschter-Tetraeder-1

vielen, vielen dank noch einmal

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