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Unabhängiges Ziehen aus 2 Urnen

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Unabhängigkeit, Urnen, Wahrscheinlichkeit, Wahrscheinlichkeitsmaß

peter80 aktiv_icon

21:04 Uhr, 14.05.2017

Guten Abend,

habe ein kleines Verständnisproblem bezüglich dem unabhängigen Ziehen aus Urnen.

Es existieren 2 Urnen mit Bällen verschiedener Farbe drin:

Urne $1 : 10$ rote Bälle, 5 grüne Bälle
Urne $2 : 9$ rote Bälle, 6 grüne Bälle, 5 blaue Bälle

Es werden aus beiden Urnen jeweils unabhängig voneinander ein Ball gezogen.

Nach der Ziehung hat man nun 1 roten Ball und 1 grünen Ball.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist nun der rote Ball aus der ersten Urne gewesen?

Meine Denkweise ist nun: für den roten Ball hat man $\frac{10}{15},$ dass er aus der ersten Urne ist und $\frac{9}{15},$ dass er aus der zweiten Urne ist aber das kann irgendwie nicht sein, da sich die Wahrscheinlichkeiten ja nicht zu 1 addieren. Da nur rot & grün gezogen wurde vernachlässigt man den blauen Ball, denn das Ergebnis ist ja schon eingetroffen?

EDIT: Hab nochmal nachgedacht und die Wahrscheinlichkeit, dass der rote Ball aus der 1. Urne ist, ist $\frac{10}{15}$ und aus der 2. Urne $\frac{5}{15},$ denn

1. Es wurde aus Urne 1 rot gezogen, also $\frac{10}{15}$ . Da rot, grün gezogen wurde ist aus der 2. Urne die Wahrscheinlichkeit für grün automatisch 1.

2. Es wurde aus Urne 1 nicht rot gezogen, also $\frac{5}{15}$ . Da rot, grün gezogen werden muss ist aus der 2. Urne die Wahrscheinlichkeit rot zu ziehen automatisch 1.

Also $\frac{10}{15},$ dass der rote Ball aus der 1. Urne ist?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

22:02 Uhr, 14.05.2017

Es ist einfach eine bedingte Wkt.
Und du musst das Paar rot-grün beachten.

Es gibt zwei Möglichkeiten:
$1)$ rot aus Urne 1 und grün aus Urne 2. Dafür ist die WKT $\frac{10}{15} \cdot \frac{6}{20} = \frac{1}{5} = \frac{4}{20}$
$2)$ rot aus Urne 2 und grün aus Urne 1. Dafür ist die WKT $\frac{9}{20} \cdot \frac{5}{15} = \frac{3}{20}$
Einer dieser beiden Fälle ist also eingetroffen (dafür war die Wkt $\frac{7}{20})$ und wir wollen wissen, wie groß die Wkt ist, dass es der erste Fall war (für den war die Wkt $\frac{4}{20})$ und das ist wohl $\frac{4}{7}$ .

Formal:
$P (r o t_{1} - g r u e n_{2}) = \frac{4}{20} = P ((r o t_{1} - g r u e n_{2}) \land (r o t - g r u e n))$
$P (r o t_{2} - g r u e n_{1}) = \frac{3}{20}$
$P (r o t - g r u e n) = P (r o t_{1} - g r u e n_{2}) + P (r o t_{2} - g r u e n_{1}) = \frac{7}{20}$

$P (r o t_{1} - g r u e n_{2} | r o t - g r u e n) = \frac{P ((r o t_{1} - g r u e n_{2}) \land (r o t - g r u e n))}{P (r o t - g r u e n)} = \frac{\frac{4}{20}}{\frac{7}{20}} = \frac{4}{7}$

peter80 aktiv_icon

22:20 Uhr, 14.05.2017

Hey, also so habe ich das zuerst auch gedacht aber man will ja nachdem man das Ergebnis schon weiß, wissen welche Wahrscheinlichkeit rot aus 1. ist.

Da es ja nur rot, grün ist ist es ja unmöglich irgendwie blau aus der 2. zu ziehen, also wieso multipliziert man $z . B$ . mit $\frac{6}{20}$ ? Wenn man rot aus der 1. zieht ist der zweite Ball automatisch grün und umgekehrt wenn man aus der 1. grün zieht ist der zweite Ball automatisch rot. Wo ist da der Denkfehler?

Roman-22

22:44 Uhr, 14.05.2017

$>$ Hey, also so habe ich das zuerst auch gedacht aber man will ja nachdem man das Ergebnis schon weiß, wissen welche Wahrscheinlichkeit rot aus 1. ist.

Eben! Wir wissen ja schon, dass sich rot-grün ergeben hat und somit nur eines der beiden Ereignisse, die ich angegeben hatte, eingetreten sein kann. Und da ergint sich aus dem Satz von Bayes eben die von mir angegebene Wkt.

Du kannst dir auch ein Bäumchen mit allen Möglichkeiten, die zwei Kugeln zu ziehen malen und für jeden Ast die Wkt angeben.
Nur bei zwei Ästen wirst du am Ende mit einer roten und einer grünen Kugel dastehen und diese beiden Äste haben die Wkten $p_{1}$ und $p_{2} (\frac{4}{20}$ und $\frac{3}{20})$ .
Wenn wir schon wissen, dass wir bei einem dieser beiden Äste gelandet sind, dann ist die Wkt, dass es der erste Ast war eben $\frac{p_{1}}{p_{1} + p_{2}},$ die Wkt, dass es der zweite Ast war ist $\frac{p_{2}}{p_{1} + p_{2}}$ und wie es sich gehört addieren sich diese beiden WKten zu 1.

peter80 aktiv_icon

23:07 Uhr, 14.05.2017

Okay, hab's nun verstanden. Danke!

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