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Unabhängigkeit von Eigenräumen beweisen

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Eigenwerte

Vektorräume

Tags: Eigenraum, Eigenwert, Vektorraum

 
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Isetmyfriendsonfire00

Isetmyfriendsonfire00 aktiv_icon

20:21 Uhr, 01.12.2021

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Es sei ϕ ∈ L(V) ein Endomorphismus im K-Vektorraum V. Außerdem seien c1,c2K zwei
Eigenwerte von ϕ mit c1c2. Zeigen Sie, dass die Eigenräume
Eigc1
ϕ := Ker(ϕ − c1 id_V),
ϕ := Ker(ϕ − c2 id_V)
unabhängig sind




Wie kann ich das zeigen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

20:43 Uhr, 01.12.2021

Antworten
Sei v10 ein Vektor aus dem ersten Eigenraum und v20 aus dem zweiten.
Sei a1v1+a2v2=0. Wenden L darauf an, bekommen a1c1v1+a2c2v2=0.
Wäre a10, dann würde aus der 1. Gleichung v1=-a2a1v2 folgen. Eingesetzt in die 2. Gleichung bekommen -a2c1v1+a2c2v2=0, also a2(c2-c1)v2=0. Da c1c2, folgt a2=0. Dann aber haben a1v1=0 => a1=0. Widerspruch.
Genauso führt die Annahme a20 zu einem Widerspruch.
Also muss a1=a2=0 sein, was die Unabhängigkeit beweist.
Isetmyfriendsonfire00

Isetmyfriendsonfire00 aktiv_icon

20:49 Uhr, 01.12.2021

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Vielen Danke für ihre schnelle Antwort.

Heißt das a1 und a2 sind Skalere?



Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

08:14 Uhr, 02.12.2021

Antworten
Ja, genau, das sind Zahlen.