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Unabhängigkeit von Eigenräumen beweisen

Universität / Fachhochschule

Eigenwerte

Vektorräume

Tags: Eigenraum, Eigenwert, Vektorraum

Isetmyfriendsonfire00 aktiv_icon

20:21 Uhr, 01.12.2021

Es sei ϕ ∈

L (V)

ein Endomorphismus im K-Vektorraum V. Außerdem seien

c 1, c 2

∈

K

zwei
Eigenwerte von ϕ mit

c 1 \neq c 2

. Zeigen Sie, dass die Eigenräume
Eigc1
ϕ

:=

Ker(ϕ −

c 1

id_V),
ϕ

:=

Ker(ϕ −

c 2

id_V)
unabhängig sind

Wie kann ich das zeigen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

20:43 Uhr, 01.12.2021

Sei

v_{1} \neq 0

ein Vektor aus dem ersten Eigenraum und

v_{2} \neq 0

aus dem zweiten.
Sei

a_{1} v_{1} + a_{2} v_{2} = 0

. Wenden

L

darauf an, bekommen

a_{1} c_{1} v_{1} + a_{2} c_{2} v_{2} = 0

.
Wäre

a_{1} \neq 0

, dann würde aus der 1. Gleichung

v_{1} = - \frac{a_{2}}{a_{1}} v_{2}

folgen. Eingesetzt in die 2. Gleichung bekommen

- a_{2} c_{1} v_{1} + a_{2} c_{2} v_{2} = 0

, also

a_{2} (c_{2} - c_{1}) v_{2} = 0

. Da

c_{1} \neq c_{2}

, folgt

a_{2} = 0

. Dann aber haben

a_{1} v_{1} = 0

a_{1} = 0

. Widerspruch.
Genauso führt die Annahme

a_{2} \neq 0

zu einem Widerspruch.
Also muss

a_{1} = a_{2} = 0

sein, was die Unabhängigkeit beweist.

Isetmyfriendsonfire00 aktiv_icon

20:49 Uhr, 01.12.2021

Vielen Danke für ihre schnelle Antwort.

Heißt das

a 1

und

a 2

sind Skalere?

DrBoogie aktiv_icon

08:14 Uhr, 02.12.2021

Ja, genau, das sind Zahlen.

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