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Unabhängigkeit von Ereignissen

Schüler Berufliches Gymnasium,

Tags: Stochastik, Unabhängige Ereignisse, Wahrscheinlichkeit

 
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LOLA4

LOLA4

22:24 Uhr, 11.09.2019

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Aufgaben zur Unabhängigkeit von Ereignissen.
Hallo, könnte mir bitte jemand einen Lösungsansatz nennen bzw. bei der 2. Aufgabe überprüfen, ob die Ergebnisse stimmen.

1.
Eine bestimmte Bevölkerung bestehe zu 60% aus Frauen, zu 40% aus Männern. 5% der Männer und 1% der Frauen sind zuckerkrank.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällig ausgewählte Person zuckerkrank ist?
b) Sind die Ereignisse "eine Person ist zuckerkrank" und "eine Person ist weiblich" unabhängig?

2.
Eine Maschine fällt in einem gewissen Zeitraum mit der Wahrscheinlichkeit 0,04 aus (Ereignis A), eine zweite Maschine im selben Zeitraum mit der Wahrscheinlichkeit 0,05 (Ereignis B). Die Ereignisse A und B seien unabhängig. Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass in dem betrachteten Zeitraum
a) beide Maschinen ausfallen,
b) keine der beide Maschinen ausfällt,
c)wenigstens eine der beiden Maschinen ausfällt.

Lösungsansatz
2.
a)P(a)=0,09
b)P(b)=0,46

Vielen Dank im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
Roman-22

Roman-22

22:39 Uhr, 11.09.2019

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ad 1)
Nehmen wir "K" für das Ereignis "Person ist zuckerkrank" und "W" für "Person ist weiblich".
Dann hast du folgende Wahrscheinlichkeiten gegeben:
P(W)=0,6⇒P(W¯)=0,4
P(K|W)=0,01
P(K|W¯)=0,05

Berechnen sollst du
a)P(K)
und überprüfen sollst du, ob
b) zB P(K∧W)=P(K)⋅P(W) oder P(K)=P(K|W) gilt. Es bietet sich an, die letzte Gleichheit zu überprüfen, da diese nur einen Angabewert und das Ergebnis von a) benötigt.

Du kannst den Satz von Bayes direkt formal anwenden oder dir aber auch zur Hilfe eine Vierfeldertafel oder ein Bäumchen aufmalen.

ad 2)
> Lösungsansatz
Leider ist das kein Lösungsansatz, sondern es sind nur zwei grundfalsche Ergebnisse, wobei gerade beim zweiten die Herkunft unergründlich ist.
Schlag noch mal nach, wie man P(A∧B)=? wirklich berechnet und überlege dann bei b), was die WKTen P(A¯) und p(B¯) sind.
LOLA4

LOLA4

23:21 Uhr, 11.09.2019

Antworten
Vielen Dank für die schnelle Rückmeldung.

zur Aufgabe 1
a)P(K)=(0,6⋅0,01)+(0,4⋅0,05)=0,026

b) P(K∧W) =P(K)⋅P(W)
0,006=0,026⋅0,6
0,006=0,0156
-->Ereignisse sind abhängig

zur Aufgabe 2
a)P(A)=0,04⋅0,05=0,002
b)P(b)=0,96⋅0,95=0,912
c)P(c)=(0,04⋅0,95)+(0,96⋅0,05)+(0,96⋅0,95)=0,998

Stimme die Ergebnisse?? :-)
Antwort
Roman-22

Roman-22

00:20 Uhr, 12.09.2019

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Bis auf 2c) sind die Ergebnisse richtig.
Bei 1b) hätte es genügt, mit P(K|W)=0,01≠0,026=P(K) zu argumentieren.

ad 2c)
Das wäre doch schlimm, wenn die WKT, dass mindestens eine Maschine ausfällt, 99,8%, also fast sicher, wäre!!
Die dritte Klammer müsste (0.04⋅0.05) lauten, NICHT (0.96⋅0.95).
Damit kommst du dann auf 0,0882.
Du hättest es dir aber auch leichter machen können, denn c) ist das Gegenereignis von b) und errechnet sich somit leichter mit 1-0,912=0,0882.
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