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Unabhängigkeit von Komplementärmengen

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12:11 Uhr, 21.03.2021

Guten Tag,

folgende Aufgabe gilt es zu lösen:

Seien

A_{1}, A_{2}, . . .

, unabhängige Ereignisse. Zeigen Sie, dass

A_{1}^{c}, A_{2}^{c}, . . .

, auch unabhängig sind.(

A^{c}

ist das Komplement von A)

Das Ziel ist es ja

P (A_{1}^{c} \cap A_{2}^{c} \cap . . .) = P (A_{1}^{c}) P (A_{2}^{c}) . . .

zu zeigen.

Den Beweis für 2 Ereignisse hab ich versucht darauf anzuwenden, aber ich komme nicht weit.

MfG,
Noah

DrBoogie aktiv_icon

12:24 Uhr, 21.03.2021

Sei

P (A \cap B) = P (A) P (B)

.
Es gilt allgemein

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A \cap B)

. Also in diesem Fall

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A) P (B)

.
Wegen

A^{c} \cap B^{c} = (A \cup B)^{c}

hat man

P (A^{c} \cap B^{c}) = 1 - P (A \cap B) = 1 - (P (A) + P (B) - P (A) P (B)) =

= (1 - P (A)) (1 - P (B)) = P (A^{c}) P (B^{c})

. Damit sind

A^{c}

und

B^{c}

unabhängig.

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12:28 Uhr, 21.03.2021

Ja, aber ich muss es für eine unendlich abzählbare Menge von Ereignissen zeigen.
Für zwei Ereignisse habe ich es bereits bewiesen, aber ich krieg den "Sprung" auf mehrere Ereignisse nicht hin.

DrBoogie aktiv_icon

12:35 Uhr, 21.03.2021

Induktion.
proofwiki.org/wiki/Independent_Events_are_Independent_of_Complement/General_Result

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