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Uneigentliches Integral, Volumenberechnung

Schüler

Tags: Uneigentliches Integral

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21:19 Uhr, 11.04.2013

Hallo zusammen!

Ich habe gerade ein großes Problem mit folgender Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion

f : x \to \frac{1}{x^{2}}

mit

D_{f} = *ℝ

a) Berechnen Sie das uneigentliche Integral

\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^{2}} d x

b) Rotiert die Funktion f um die x-Achse, so entsteht ein Drehkörper mit einem "bis ins Unendliche reichenden" Volumen V.
Berechnen Sie dieses Volumen.

Meine Ideen: -
Habe das Thema ziemlich verschlafen.. O.o Ich glaube aber, dass die Stichwörter "Grenzwert" und "Limes" im Zusammenhang mit der Aufgabe stehen? :-D)

Würde mich wie immer über Hilfe freuen :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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21:27 Uhr, 11.04.2013

b)

Setze als obere Grenze a ein und integriere mittels "Volumenintegral".
Anschließend Grenzwert berechnen,

d . h

. lasse

a \to \infty

laufen.
Das wars.

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21:57 Uhr, 11.04.2013

Gibt´s ein Problem ?
Die Aufgabe ist doch in 3min gegessen

...

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21:57 Uhr, 11.04.2013

Gibt´s ein Problem ?
Die Aufgabe ist doch in 3min gegessen

...

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22:04 Uhr, 11.04.2013

Danke für deine Antwort!

"Volumenintegral" =

π * \int_{a}^{b} (f (x))^{2} d x

?

Habe es mal so versucht:

\int_{1}^{a} (\frac{1}{x^{2}})^{2}

(- \frac{1}{3 x^{3}})

[(- \frac{1}{3 a^{3}}) - (- \frac{1}{(3 * 1^{3})})]

= ??
Und nun noch mal Pi..

Aber stimmt der Rechenweg so überhaupt ?

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22:12 Uhr, 11.04.2013

Etwas salopp geschrieben, aber prinzipiell richtig.
Nun vereinfache etwas und dann Limes mit

a \to \infty

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22:35 Uhr, 11.04.2013

Okay also:

- \frac{1}{3 a^{3}} - (- \frac{1}{3})

\frac{1}{3} - \frac{1}{3 a^{3}}

a^{3}

?

Bzw. dann

π * a^{3}

?

Und wie mache ich das mit dem limes??

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22:45 Uhr, 11.04.2013

Dein

= a^{3}

ist falsch ! Wie kommst Du darauf ?

Alles davor ist richtig.

lim_{a \to \infty} Π \cdot (\frac{1}{3} - \frac{1}{a^{3}}) = . .

.

Jetzt genau hingucken ! Wenn im 2.Term a gegen

\infty

läuft, was wird aus

\frac{1}{a^{3}}

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23:01 Uhr, 11.04.2013

Puuh..

lim_{a \to \infty} (\frac{1}{3} - \frac{1}{a^{3}})

= ....
Ich glaube da muss ich passen. O.o Wie rechne ich das?

Wenn a gegen

\infty

geht, wird

\frac{1}{a^{3}}

immer kleiner. (?)

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23:04 Uhr, 11.04.2013

Naja, Deine Idee ist ja schon richtig.

Setze Testwerte ein!

a = 1

a = 100

a = 100000

a = 100000000000000000000

a = 1000000000000000000000000000000000

Gegen welchen Wert strebt

\frac{1}{a^{3}}

- - - - - - - - -

Nachtrag: Habe oben noch das

Π

eingefügt.

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23:08 Uhr, 11.04.2013

Gegen

- \infty

oder?

Und das ist der Grenzwert wenn ich mich richtig erinnere oder?

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23:14 Uhr, 11.04.2013

Du hast noch einen logischen Knick in Deiner Linse

...

.
Jetzt musst Du es leider auf die harte Tour machen

. .

a = 1

\frac{1}{a^{3}} = ...

- - - - - -

a = 100

\frac{1}{a^{3}} = ...

- - - - -

a = 1000

\frac{1}{a^{3}} = ... .

- - - - -

a = 10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000

\frac{1}{a^{3}} = ...

. ?

- - - - - -

Gegen welche Zahl läuft der Ausdruck

\frac{1}{a^{3}}

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23:18 Uhr, 11.04.2013

Oh je..

Dann ist wohl die 0 gemeint. O.o

Ma-Ma aktiv_icon

23:24 Uhr, 11.04.2013

Bist DU sicher, dass

\frac{1}{{(100000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000)}^{3}}

gegen NULL läuft ? (schmunzel)

- - - - - - - - - - - - -

lim_{a \to \infty} Π \cdot (\frac{1}{3} - \frac{1}{a^{3}}) = Π \cdot (\frac{1}{3} - \frac{1}{\infty}) = Π \cdot (\frac{1}{3} - 0) = Π \cdot (\frac{1}{3})

Das Auflösen der Klammer überlasse ich Dir

...

.

LG Ma-Ma

Mathebloeder aktiv_icon

23:39 Uhr, 11.04.2013

Das gibts doch jetzt garnich.. :-D) *Kopf auf Tischplatte*

\frac{1}{10 0^{3}}

= 0,000001

\frac{1}{100 0^{3}}

= 0,000000001

\frac{1}{1000000000 0^{3}}

= 0,000000000000000000000000000001
...
...

Der Wert nähert sich doch immer weiter (bis ins unendliche) der Null an..
Dann kann die Antwort sonst ja nur noch "gegen

\infty

" heißen.
Ich hoffe das stimmt jezt endlich. :-D)

Ma-Ma aktiv_icon

23:46 Uhr, 11.04.2013

Ich glaub, Du solltest Dir morgen nochmal den Thread anschauen

. .

lim_{a \to \infty} \frac{1}{a^{3}} = \frac{1}{\infty} = 0

Somit erhalten wir oben

lim_{a \to \infty} Π \cdot (\frac{1}{3} - \frac{1}{a^{3}}) = Π \cdot (\frac{1}{3} - 0) = \frac{Π}{3}

Gute Nacht

. .

.
LG Ma-Ma

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23:53 Uhr, 11.04.2013

O.o Ich glaub den Ratschlag beherzige ich mal.
Heute raff ich ja überhaupt nichts mehr.
Trotzdem vielen Dank für deine Hilfe und Geduld!

Ma-Ma aktiv_icon

23:55 Uhr, 11.04.2013

Du wirst sehen, morgen kommt der AHA-Effekt

. .

. diese Aufgabe war wirklich ganz leicht.
LG Ma-Ma

PS: Evtl. solltest Du noch ein wenig Grenzwertberechnung üben

. .

Mathebloeder aktiv_icon

21:55 Uhr, 12.04.2013

Soo.. Frischen Mutes hab ich mir gerade nochmal alles durchgelesen.
Ìch kann eig. alles nachvollziehen bis auf eins: Die Berechnung des Grenzwertes. :-D)

Würde mich freuen, wenn mir das jemand nun verraten könnte. Ich glaube von allein werde ich nicht mehr drauf kommen. :(

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