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Unendliche Mengen und Vollständige Verbände

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Tags: mengen, Verband, vollständigkeit

 
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Zemnux

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19:59 Uhr, 20.03.2017

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In unserem Vorlesungsskript steht, dass wenn in einer partiellen Ordnung Suprema generell existieren, dass dann auch Infima generell existieren und es somit ein vollständiger Verband ist. Allerdings hat doch der Verband der natürlichen Zahlen geordnet mit der Realtion kleiner gleich, für jede Teilmenge ein Supremum z.B. für {1,2,3}1 da diese kleiner gleich alle Elemente der Teilmenge ist und für die unendliche Teilmenge 0 da 0 kleiner gleich alle natürlichen Zahlen ist, somit existiert für jede Teilmenge ein Supremum und laut Skript müsste dann auch für alle ein Infimum existieren, aber die unendliche Teilmenge hat ja kein Infimum, da es keine Zahl gibt von der alle anderen Zahlen kleiner gleich sind. Was verstehe ich falsch?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
mihisu

mihisu aktiv_icon

20:59 Uhr, 20.03.2017

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Denke daran, dass wenn Suprema generell existieren sollen, auch ∅ und die gesamte Verbandsmenge V jeweils ein Supremum besitzen müssen. Vor allem die leere Menge wird gerne einmal vergessen.

\\\\

Erst einmal scheinst du Supremum und Infimum vertauscht zu haben. (Oder du solltest die Umkehrrelation von "kleiner gleich", also "größer gleich", verwenden.)

Infimum: Größtes Element, das kleiner oder gleich allen Elemtenten der Teilmenge ist.
Supremum: Kleinstes Element, das größer oder gleich allen Elementen der Teilmenge ist.

Bei {1,2,3}⊆ℕ wäre (bzgl. ≤)1 das Infimum und 3 das Supremum.
Bei {1,2,3}⊆ℕ wäre (bzgl. ≥)1 das Supremum und 3 das Infimum.

Bei ℕ (bzgl. ≤) hat ℕ kein Supremum, da es keine Element gibt, das größer oder gleich allen Elementen von ℕ ist.
Bei ℕ (bzgl. ≤) hat ∅ kein Infimum. Denn jedes Element aus ℕ ist kleiner als jedes Element aus ∅. (siehe: (⋆)) Aber in ℕ gibt es kein größtes Element. Daher gibt es also kein größtes Element, das kleiner ist als jedes Element aus ∅.

Analog hat bei ℕ bzgl. ≥ die Teilmenge ∅ kein Supremum und die Teilmenge ℕ kein Infimum.

\\\\

Bei (⋆) wurde verwendet, dass für jede Aussageform A(x) die Aussage
∀x∈∅:A(x)
wahr ist.

Daher ist die Aussage
∀y∈ℕ:  ∀x∈∅:  y≤x
wahr.
Frage beantwortet
Zemnux

Zemnux aktiv_icon

21:08 Uhr, 20.03.2017

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Achja du hast recht. Ich habe das mit der leeren Menge übersehen und wie sich Infimum und Supremum darin verhalten. Jetzt habe ich es Verstanden. Vielen Dank für die Hilfe!