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Unendliche Reihe - Textaufgabe: Quadrat in Quadrat

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen, Partialsumme, Quadrat, summenwert, Unendliche Reihe

Najeb aktiv_icon

23:39 Uhr, 22.01.2018

Hallo,
kann mir bitte jemand sagen, ob meine Vorgehensweise und meine Lösung richtig ist?:
Es geht um eine Reihen-Aufgabe

(s

. Bild).

A_{1} = a^{2} . .

A_{2} = b^{2} . .

A_{3} = c^{2}

b^{2} = {(\frac{a}{2})}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2} \to b^{2} = \frac{1}{4} a^{2} + \frac{1}{4} a^{2} = \frac{1}{2} \cdot a^{2}

c^{2} = {(\frac{b}{2})}^{2} + {(\frac{b}{2})}^{2} \to c^{2} = \frac{1}{4} b^{2} + \frac{1}{4} b^{2} = \frac{1}{2} b^{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} a^{2} = \frac{1}{4} \cdot a^{2}

\to A_{n} = a_{1} \cdot q^{n - 1} \Rightarrow A_{n} = a^{2} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n - 1}

\Rightarrow

| q | < 1 : S_{n} = \frac{a_{1}}{1 - q} = \frac{a^{2}}{\frac{1}{2}} = 2 a^{2}

Dieses Ergebnis

S_{n} = 2 a^{2}

ist die n'te-Partialsumme. In der Aufgabe ist aber die Summe der Flächeninhalte gesucht - reicht das dann als Lösung oder muss ich noch den Limes von

n

gegen unendlich von

S_{n} = 2 a^{2}

berechnen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächenmessung
Quadrat / Rechteck / Parallelogramm
Wurzelgesetze

Roman-22

01:27 Uhr, 23.01.2018

>

Dieses Ergebnis Sn=2a2 ist die n'te-Partialsumme.
Nein, ist es nicht! Das ist bereits die "Summe" der unendlichen Reihe!
Für die n-te Partialsumme müsstest du eine andere Formel verwenden.

Najeb aktiv_icon

01:42 Uhr, 23.01.2018

Also ist

2 a^{2}

die "Summe" der unendlichen Reihe und somit die Summe der Flächeninhalte? Also ist dann die Aufgabe schon gelöst? Und wie lautet denn die Formel der n'ten-Partialsumme?

Roman-22

09:21 Uhr, 23.01.2018

>

Also ist

2 a 2

die "Summe" der unendlichen Reihe und somit die Summe der Flächeninhalte?
Ja

>Also ist dann die Aufgabe schon gelöst?
Ja
Formal hast du allerdings nur für die ersten drei Quadrate angegeben, dass der Flächeninhalt des nächsten die Hälfte des vorhergehenden ist und daann angenommen (was ja richtig ist), dass das allgemein gilt. Du solltest in einer Skizze (die genau so aussieht wie deine, nur anders beschriftet ist, zeigen, dass

a_{n + 1} = a_{n} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}

und damit

A_{n + 1} = A_{n} \cdot \frac{1}{2}

>

Und wie lautet denn die Formel der n'ten-Partialsumme?
de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Berechnung_der_(endlichen)_Partialsummen_einer_geometrischen_Reihe

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