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Unendliche Reihen

Schüler

Tags: divergenz, Konvergenz, reih, Summe

 
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Visocnik

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17:51 Uhr, 25.11.2018

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Untersuche folgende Reihe auf Konvergenz bzw. Divergenz:

1+12+13+12+...

Genügt es, wenn ich folgenden Rechnungsweg probiere:
1+0,707+0,577+0,5+....
Reihenglieder monoton fallend Reihe steigend, geht gegen unendlich - somit divergent

Mein Professor hat aber die Lösung über die Summenformel gemacht:
Lösung: Summe 1k;k=1 gegen unendlich divergent, weil 1k>1k für alle k1 und Summe 1k;k=1 gegen unendlich divergent.

Bitte um Erklärung:
a) Wie schließe ich von der Angabe, dieser Rechnung, auf die Summenformel?
b) Wie erkläre ich am besten die vorliegende Divergenz?

LG. B.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
ledum

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18:06 Uhr, 25.11.2018

Antworten
Hallo
da wurde doch nirgends eine Summenformel benutz? da die Reihe divergiert biet es die ja auch nicht, gezeigt wurde, dass das die Summe über 2 Reihen sind die eine über 1k also die harmonische reihe, die wurde schon als divergent gezeigt, die andere über 1k wurde mit dem Minoranten Kriterium gezeigt, alle Summanden sind größer als 1k also ist die __summe über 1k eine divergente Minorante, also divergiert erst recht die Reihe mit den größeren Summanden.
Auf eine Summenformel kommst du damit nicht! die ist wohl auch nicht verlangt.
Dein Weg geht nicht, denn das Argument Reihenglieder monoton fallen, Reihe steigend würde auch auf die konvergente Reihe k12k die konvergiert gelten. (die konvergierenden Reihen steigen wenn die Summanden positiv sind immer, egal ob divergent oder konvergent)
Gruß ledum

Antwort
anonymous

anonymous

18:24 Uhr, 25.11.2018

Antworten
In meinen Worten:
Hallo Visocnik
"Genügt es, wenn ich folgenden Rechenweg probiere:
..."
Nein.

"-> Reihenglieder monoton fallend"
Ja.
"-> Reihe steigend"
Was willst du damit sagen. Jeder Ausdruck wächst, wenn man einen Summanden hinzuaddiert. Das gilt für konvergierende Reihen genauso, wie für divergierende.

"geht gegen unendlich somit divergent"
Da deine Begründung nicht klar ist, ist auch die Schlussfolgerung (mir) nicht klar.

"a) Wie schließe ich von der Angabe, dieser Rechnung, auf die Summenformel?"
Was genau meinst du mit Summenformel?

"b) Wie erkläre ich am besten die vorliegende Divergenz?"
So, wie es dein Professor vorgeschlagen hat.
Ich versuche es nochmals in meinen Worten:
Mach dir klar - für k>1 gilt:
1k>1k

Das machst du dir am besten klar, anhand von Zahlenbeispielen:
zB. k=2:
12>12
denn
0,707>0,5

oder zB. k=100
1100>1100
denn
0,1>0,01

oder zB. k=1000000
11000000>11000000
denn
0,001>0,000001


So, jetzt mach dir klar, und ich möchte wetten, dass ihr in euren Aufschrieben vor Kurzem die harmonische Reihe und deren Divergenz aufgeschrieben, behandelt und erklärt bekommen habt.
harmonische Reihe:
1+12+13+14+15+... +1k+...
ist divergent, denn die Summe ist unbegrenzt, ohne alle Schranken, unendlich groß, ...

Jetzt vergleichst du dich mit deiner Aufgabenreihe hier.
Die Aufgabenreihe lautet:
1+12+13+14+15+... +1k+...

a)
Schauen wir uns den ersten Summanden an.
> Der erste Summand der harmonischen Reihe ist: 1
> Der erste Summand der Aufgabenreihe ist: 1
D.h. die beiden ersten Summanden sind gleich groß.

b)
Schauen wir uns den zweiten Summanden an.
> Der zweite Summand der harmonischen Reihe ist: 12
> Der zweite Summand der Aufgabenreihe ist: 12
D.h. der zweite Summand der Aufgabenreihe ist größer als der zweite Summand der harmonischen Reihe.

c)
Schauen wir uns den dritten Summanden an.
> Der dritte Summand der harmonischen Reihe ist: 13
> Der dritte Summand der Aufgabenreihe ist: 13
D.h. der dritte Summand der Aufgabenreihe ist größer als der dritte Summand der harmonischen Reihe.

d)
Schauen wir uns irgend einen, den k-ten Summanden an.
> Der k-te Summand der harmonischen Reihe ist: 1k
> Der k-te Summand der Aufgabenreihe ist: 1k
D.h. egal welchen Summand wir von der Aufgabenreihe anschauen, er ist größer als der entsprechende Summand der harmonischen Reihe.


Die Schlussfolgerung ist jetzt eigentlich ganz einfach.
Wenn schon die Summe der harmonischen Reihe, über alle Grenzen geht, unbeschreiblich unendlich groß ist,
dann doch erst recht die Summe aus der Aufgabenreihe,
denn da packen wir ja auf jeden Summanden noch ein wenig drauf.

Das heißt, die Summe der harmonischen Reihe ist
> die Summe der harmonischen Reihe, und das ist Unendlich,
> und noch auf jeden Summanden noch ein wenig mehr obendrauf.
Das kann doch nichts anderes als wiederum Unendlich sein.

Schlussfolgerung:
Die Aufgabenreihe ist divergent.

Visocnik

Visocnik aktiv_icon

18:50 Uhr, 25.11.2018

Antworten
Liebe ledum,

danke für deine Erklärung, leider haben wir in der Schule nie das Minorantenkriterium durchbesprochen, somit kann ich leider mit diesem Tipp nicht viel anfangen.
Trotzdem herzlichen Dank!

LG. B.
Visocnik

Visocnik aktiv_icon

18:53 Uhr, 25.11.2018

Antworten
Liebe 11engleich,

herzlichen Dank für die ausführliche Erklärung, jetzt ist mir schon vieles klarer, jedoch meine Frage:
Laut Professors Lösung, bräuchten wir die Summenschreibweise meiner vorgegebenen Reihe; mir ist nicht klar, wie man von einer angegebenen Reihe auf die dazugehörige Summenschreibweise schließt.
Und ist 12k dann auch harmonisch?
Kannst du mir da nochmals helfen?

LG. B.
Antwort
anonymous

anonymous

19:46 Uhr, 25.11.2018

Antworten
Was genau verstehst du denn unter 'Summenschreibweise'?
Meinst du damit, dass man die 'Aufgabensumme' auch als
k=11k
schreiben könnte?

"Und ist 12k dann auch harmonisch?"
Und wiederum, was genau meinst du damit?
Vielleicht:
k=112k=k=1121k=12k=11k=12 (harmonische Reihe)

Visocnik

Visocnik aktiv_icon

20:34 Uhr, 25.11.2018

Antworten
Liebe 11engleich,

ja genau, mir ist noch nicht ganz klar, wie man auf diese Aufgabensumme kommt, wie sie sich aus der vorgegebenen Reihe zusammen stellen lässt.

Danke für die Aufklärung der harmonischen Reihe!!

LG. B.
Antwort
anonymous

anonymous

23:06 Uhr, 25.11.2018

Antworten
Wenn du unter 'Aufgabensumme' das
k=11k
meinst, das ist einfach Übungssache im Umgang mit dem Summenzeichen.

So wie man Worte aus Buchstaben zusammensetzt, so setzt man Summen aus Summanden zusammen.
Wenn du mit dem Summenzeichen noch unsicher bist, dann hast du dich einfach noch nicht genügend mit ihm auseinander gesetzt und dein Verständnis geschult.
Mach dir einfach mal
k=11k
anhand einiger Summanden klar und schreib sie eben mal auf Papier.

Frage beantwortet
Visocnik

Visocnik aktiv_icon

19:44 Uhr, 26.11.2018

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Liebe 11engleich,

ich bleibe am Üben dran!
Vielen Dank für die tolle Erklärung!!

LG. B.