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Unendliche Tetration

Universität / Fachhochschule

Tags: Potenzturm

Sukomaki aktiv_icon

19:25 Uhr, 04.10.2025

Hallo Mathe-Community,

ich habe neulich auf You-Tube ein interessantes Video zum Thema Tetration gefunden.

Tetration entspricht einem Potenzturm aus

n

gleichen Exponenten.

Also z.b.

a^{(a^{(a^{(a^{a})})})}

Die Schreibweise für die Anzahl der Tiefe differiert je nach Quelle.

Gängig ist

\binom{n}{} a

.

Die Tetration ist nicht einfach zu handhaben.

Insbesondere werden die auftretenden Zahlen rasch sehr groß.

Wie auch immer ist der Wert von

{\sqrt{2}}^{({\sqrt{2}}^{({\sqrt{2}}^{({\sqrt{2}}^{{\cdot^{\cdot^{\cdot}}}^{\sqrt{2}}})})})}

gesucht.

Als unendliche Operation (und ich spreche nicht von Limites, Summen oder Produkten) sieht das auf den ersten Blick ein wenig abschreckend aus, aber ein kleiner Kniff macht es schon gleich viel übersichtlicher. Und tatsächlich ist der unendliche Turm einfacher zu berechnen als seine endlichen Analoga.

Der erste Schritt besteht darin, einen Trick, der auch bei manchen Kettenbrüchen und verschachtelten Wurzeln Verwendung finden kann, zu benutzen.

(Spannenderweise spielt dort auch der goldene Schnitt, also

\frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1.618 \dots

eine Rolle)

Viel Erfolg!

Sukomaki

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

KL700 aktiv_icon

07:41 Uhr, 05.10.2025

vgl. de.wikipedia.org/wiki/Potenzturm

pivot aktiv_icon

18:53 Uhr, 05.10.2025

Hallo,

wir müssen y finden:

y = {\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{\dots}}}

Bei Seiten als Exponent von

\sqrt{2}

{\sqrt{2}}^{y} = {\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{\dots}}}

Beide rechten Seiten sind gleich groß, also sind auch beide linke Seiten gleich groß.

y = {\sqrt{2}}^{y}

Gegebenfalls noch die Konvergenz überprüfen.

Gruß
pivot

Roman-22

19:25 Uhr, 05.10.2025

> y = {\sqrt{2}}^{y}

Da müsste man jetzt nur noch argumentieren, warum man die Lösung

y = 4

ausschließen möchte :-)

Sukomaki aktiv_icon

19:55 Uhr, 05.10.2025

@Pivot

das ist genau der richtige Ansatz.

An dieser Stelle möchte ich ausführen, was das mit Kettenbrüchen und geschachtelten Wurzeln zu tun hat.

1) Kettenbruch

Sei

x = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1}}}}

Es fällt auf, dass das ganze

x

wieder im Nenner des zweiten Summanden auftritt.

Daher kann ich schreiben :

x = 1 + \frac{1}{x}

oder multipliziert mit

x

als

x^{2} = x + 1

In Normalform ist das

x^{2} - x - 1 = 0

Mit der p,q-Formel ergibt das unter anderem die größere Lösung

x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618 \dots

Das ist gerade der goldene Schnitt.

2) geschachtelte Wurzeln

Sei

x = \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{1 + \dots}}}}}}

Es fällt auf, dass das ganze

x

dem Teilausdruck hinter

1 +

unter der ersten Wurzel entspricht.

Das führt auf

x = \sqrt{1 + x}

oder quadriert

x^{2} = 1 + x

.

In Normalform ist das

x^{2} - x - 1 = 0

Mit der p,q-Formel ergibt das unter anderem die größere Lösung

x = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618 \dots

Auch das ergibt wieder den goldenen Schnitt.

Zur Erinnerung : Der goldene Schnitt teilt eine Strecke so, dass der längere Teil sich zum kürzeren Teil verhält wie die ganze Strecke zum längeren Teil.

Er galt in der Renaissance in der Architektur als Schönheitsideal. Auch kommt er bei der Anzahl der Blütenblätter mancher Blumensorten vor (genauer gesagt die Fibonacci-Zahlen, aber die nähern sich divisionsmäßig in der Unendlichkeit dem goldenen Schnitt an). Und da Vinci hat sich damit beschäftigt, welche Proportionen im menschlichen Körper dem Gesetz des goldenen Schnittes folgen.

So viel zum goldenen Schnitt.

Beide Herleitungen funktionieren natürlich nur mit unendlichen Ausdrücken.

So auch bei

y = {\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{\dots}}}}

Sukomaki aktiv_icon

21:12 Uhr, 05.10.2025

Ramanujan hat ja gezeigt, dass unter bestimmten Umständen gilt :

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + \dots = - \frac{1}{12}

.

Und zwar wie folgt :

Aus der geometrischen Reihe

\sum_{j = 0}^{\infty} q^{j} = \frac{1}{1 - q}

entsteht durch Differenzierung

\sum_{j = 1}^{\infty} j \cdot q^{j - 1} = \frac{1}{(1 - q)^{2}}

.

Für

q = - 1

ist das

\frac{1}{4}

.

Formal ist also

1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - \dots = \frac{1}{4}

.

Sei nun

A := 1 - 2 + 3 - 4 + 5 - 6 + 7 - \dots

und

B := 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + \dots

.

Es ist

B - A = (1 - 1) + (2 - (- 2)) + (3 - 3) + (4 - (- 4)) + (5 - 5) - \dots = 4 + 8 + 12 + 16 + 20 + \dots

.

Das entspricht

4 B

.

Formal ist also

B - A = 4 B

oder

B = - \frac{1}{3} A

.

Weil nun

A = \frac{1}{4}

folgt

B = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + \dots = - \frac{1}{12}

.

Ich möchte nicht behaupten, dass diese Gleichheit im klassischen Sinne gültig ist.

Ich möchte viel mehr darauf hinweisen, dass beim Hantieren mit der Unendlichkeit äußerste Vorsicht geboten ist.

@Roman-22

> Da müsste man jetzt nur noch argumentieren, warum man die Lösung y=4 ausschließen möchte :-)

Das kann ich nicht. Weisst Du den Grund?

HAL9000

08:14 Uhr, 06.10.2025

Man weist einfach nach, dass in der Folge

y_{0} = 1, y_{n} = {\sqrt{2}}^{y_{n - 1}}

für

n \geq 1

jedes Folgenglied kleiner als 2 ist, daraus folgt dann auch

lim_{n \to \infty} y_{n} \leq 2

.

Und dieser Nachweis sollte per Induktion kein Problem sein, indem man nutzt, dass

g (t) = {\sqrt{2}}^{t}

eine streng monoton wachsende Funktion ist, für die zudem

g (2) = 2

gilt.

Sukomaki aktiv_icon

11:07 Uhr, 06.10.2025

Mir ist gerade aufgefallen, dass ich im Kettenbruch die Auslassungspunkte vergessen habe.

Es muss natürlich heißen

x = 1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{⋮}}}}

Sorry dafür.

@HAL9000

Induktionsverankerung :

y_{0} = 1

Induktionsschritt : Mit

y_{n} < 2

und

y_{n} = 2 - ε

ist

{\sqrt{2}}^{2 - ε} = \frac{2}{{\sqrt{2}}^{ε}} < 2

also

y_{n + 1} < 2

Induktionsschluß :

\forall n \in ℕ : y_{n} < 2

Richtig so?

Ich nehme an, dass noch nicht gezeigt ist, dass

lim_{n \to \infty} y_{n} = 2

, sondern nur dass sich die Vier als potentielle Lösung ausschließen lässt.

HAL9000

15:32 Uhr, 06.10.2025

So ist es.

Bei rekursiv definierten Folgen der Struktur

y_{n} = h (y_{n - 1})

mit stetigem (!) kommt als Grenzwert

y

(sofern er denn existiert) aber nur ein Fixpunkt von

h

in Frage. Der Nachweis ist simpel

y = lim_{n \to \infty} y_{n} = lim_{n \to \infty} h (y_{n - 1}) \overset{!}{=} (lim_{n \to \infty} y_{n - 1}) = h (y)

,

selbstredend ist

\overset{!}{=}

die Stelle, wo man die Stetigkeit benötigt.

Die dabei benötigte Konvergenz selbst folgt hier aus "monoton wachsend + nach oben beschränkt (konkret: Schranke 2)".

Sukomaki aktiv_icon

17:26 Uhr, 06.10.2025

Ich verstehe den simplen Beweis nicht ganz.

Für mich würde es mehr Sinn machen, wenn nach dem

\binom{!}{=}

stünde

h (lim_{n \to \infty} y_{n - 1})

.

Das spräche auch für die Benötigung der Stetigkeit.

Da Du den lim-Ausdruck in Klammern gesetzt hast, gehe ich davon aus, dass Du beabsichtigt hattest, noch ein "h" davor zu schreiben.

Oder verstehe ich da etwas völlig falsch?

HAL9000

17:57 Uhr, 06.10.2025

Ja, da muss auch ein

h

stehen - entschuldige die Unterlassung.

Weiter oben hatte ich auch schon ein weiteres

h

vergessen:

"...mit stetigem (!)

h

kommt..."

Das kommt davon, wenn man Beiträge so zwischen Tür und Angel schreibt und nicht nochmal kontrolliert.

Sukomaki aktiv_icon

11:22 Uhr, 07.10.2025

Wie pivot gesagt hat muss der Wert von

{\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{{\sqrt{2}}^{\dots}}}}

der Gleichung

{\sqrt{2}}^{y} = y

genügen.

Es ist leicht zu erkennen, dass deren Lösungen zwei und vier sind.

Und wie von HAL9000 gezeigt, scheidet die Vier aus.

Traut sich jetzt jemand zu, die Zwei konkret in Angriff zu nehmen?

Hint :

y^{y} = z \Rightarrow y = e^{L a m b e r t W (\ln (z))}

Dabei ist

L a m b e r t W

die Umkehrfunktion von

x \cdot e^{x}

.

Ich hoffe, ich habe nicht zu viel verraten.

Es würde mich sehr freuen, wenn jemand das hinbekommt.

Eventuell wenn ihr kein CAS euer eigen nennt mit einem Online-Rechner (www.wolframalpha.com), der die

L a m b e r t W

-Funktion berechnen kann.

HAL9000

09:07 Uhr, 08.10.2025

Meinst du mit Zwei den Nachweis von Grenzwert 2 der Folge

(y_{n})

? Ich dachte, das wäre längst geklärt:

> Die dabei benötigte Konvergenz selbst folgt hier aus "monoton wachsend + nach oben beschränkt (konkret: Schranke 2)".

Oder willst du das noch ausführlich ausgebreitet wissen? (Wüsste übrigens nicht, wozu LambertW für

y^{y} = z

dazu gebraucht werden soll.)

Sukomaki aktiv_icon

13:21 Uhr, 08.10.2025

Mit LambertW kannst Du die Zwei berechnen ohne Grenzwert-Betrachtungen.

Es ist ja LambertW die Umkehrfunktion von

x \cdot e^{x}

.

Also ist

L a m b e r t W (y) \cdot e^{L a m b e r t W (y)} = y

wegen

f (f^{- 1} (y)) = y

.

Insbesondere folgt aus

y = e^{L a m b e r t W (\ln (z))}

der Term

y^{y} = {(e^{L a m b e r t W (\ln (z))})}^{(e^{L a m b e r t W (\ln (z))})} = e^{L a m b e r t W (\ln (z)) \cdot e^{L a m b e r t W (\ln (z))}} = e^{\ln (z)} = z

.

Und umgekehrt folgt aus

y^{y} = z

die Gleichung

y = e^{L a m b e r t W (\ln (z))}

.

Nun ist es nicht mehr sehr weit von

{\sqrt{2}}^{y} = y

bis

y = 2

HAL9000

15:54 Uhr, 08.10.2025

> Mit LambertW kannst Du die Zwei berechnen ohne Grenzwert-Betrachtungen.

Ehrlich gesagt war ich schon mit deinem

> Als unendliche Operation (und ich spreche nicht von Limites, Summen oder Produkten)

im Eröffnungsbeitrag nicht einverstanden: Selbstverständlich geht es hier um Grenzwerte! Und deren Betrachtung kann auch nicht vermieden werden: Wie ich im Beitrag 6.10.2025, 15:32 schon schrieb, setzt die Fixpunktbetrachtung vorher den Nachweis voraus, dass der Grenzwert überhaupt existiert:

Man kann ja z.B. die Folge betrachten

a_{n} = 2 - a_{n - 1}

mit Startwert

a_{0} = 0

. Offenbar ist

a = 1

der einzige Fixpunkt der Iterationsgleichung

a = 2 - a

, dennoch ist

a

nicht Grenzwert dieser Folge, denn die hat gar keinen (sie alterniert stattdessen zwischen 0 und 2).

Was LambertW betrifft: Ja Ok, man kann

{\sqrt{2}}^{y} = y

umstellen zu

{(\frac{1}{y})}^{\frac{1}{y}} = \frac{1}{\sqrt{2}}

, um auf diesen Gleichungstyp

t^{t} = z

zu kommen.

Aber warum? Direktes Logarithmieren

\frac{y}{2} \ln (2) = \ln (y)

und dann Substitution

x = - l n (y)

führt doch ohne diesen Umweg auf die LambertW-taugliche Gleichung

x e^{x} = - \frac{1}{2} \ln (2)

.

--------------------------------------------

Ohne LambertW geht es aber auch, z.B. so:

Lemma: Es gilt

t < {\sqrt{2}}^{t} < 2

für alle reellen

t < 2

.

Beweis: Für die rechte Seite nutzen wir, dass

t \mapsto {\sqrt{2}}^{t}

streng monoton wachsend ist und damit

{\sqrt{2}}^{t} < {\sqrt{2}}^{2} = 2

für alle

t < 2

folgt.

Für die linke Seite betrachten wir Hilfsfunktion

h (t) = {\sqrt{2}}^{t} - t

für alle reellen

t

. Da ist

h ʹ (t) = {\sqrt{2}}^{t} \cdot \ln (\sqrt{2}) - 1

, und mit der schon erwähnten strengen Monotonie von

t \mapsto {\sqrt{2}}^{t}

folgt damit

h ʹ (t) < h ʹ (2) = \ln (2) - 1 < 0

für alle

t < 2

, und daraus dann

h (t) > h (2) = 0

für diese

t

.

Mit dem Lemma ist nun alles klar: Es folgt

y_{n} < 2

für alle

n

sowie

y_{n} < {\sqrt{2}}^{y_{n}} = y_{n + 1}

, also Monotonie. Damit existiert

y := lim_{n \to \infty} y_{n}

und es muss

y \leq 2

gelten und

y

muss Fixpunkt der Iterationsgleichung sein (siehe wieder Beitrag 6.10.2025, 15:32), also

y = {\sqrt{2}}^{y}

, was für

y < 2

laut Lemma aber nicht geht. Bleibt somit nur

y = 2

übrig.

Sukomaki aktiv_icon

15:13 Uhr, 10.10.2025

> Selbstverständlich geht es hier um Grenzwerte!

Da hast Du recht. Und zwar kommt der Grenzwert / die Unendlichkeit da ins Spiel wo ich schließe,

dass

{\sqrt{2}}^{y} = y

ist.

Ich hatte von anfangs her

y = \frac{1}{e^{L a m b e r t W (\ln (\frac{1}{\sqrt{2}}))}} = 2

im Sinn.

Aber so, wie Du es gemacht hast, geht es natürlich auch.

Da müssen wir jetzt auch nicht drüber diskutieren, welche Methode "besser" ist.

Ich will nicht sagen, das sei Geschmackssache, aber viele Wege führen nach Rom.

G
Sukomaki

1591772

1591747

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