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Unendliche Vereinigung von Algebren

Universität / Fachhochschule

Maßtheorie

Tags: Maßtheorie

sabsi

08:54 Uhr, 17.10.2023

Hey

Ich habe folgende Ausgangslage:
Sei

(A_{n})_{n > = 1}

eine wachsende Folge von Algebren über S, also

A_{n} \subseteq A_{n + 1}

Ich soll zeigen dass

\cup_{n = 1}^{\infty} A_{n}

wieder eine ALgebra ist

----------------------------------------

ich muss doch hier also 3 Sachen zeigen:

1. Die gesamte Menge S ist in der Vereinigung:

Da aber S in jeder Algebra

A_{n}

ist ist sie auch Element von

\cup_{n = 1}^{\infty} A_{n}

B \in \cup_{n = 1}^{\infty} A_{n} \Rightarrow B^{c} \in \cup_{n = 1}^{\infty} A_{n}

Hier habe ich Schwierigkeiten genau so wie beim 3. Punkt mit der Vereingung von zwei Teilmengen

Lg Sabsi

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

09:52 Uhr, 17.10.2023

B \in ⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}

bedeutet, dass es ein

n_{0}

gibt mit

B \in A_{n_{0}}

. Da

A_{n_{0}}

eine Algebra ist, gilt auch

B^{c} \in A_{n_{0}}

und somit auch

B^{c} \in ⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}

.

Beim 3.Punkt muss du nachweisen, dass für

B, C \in ⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}

auch

(B \cup C) \in ⋃_{n = 1}^{\infty} A_{n}

gilt. Das geht ähnlich wie in 2., nur dass man zwei i.a. zunächst unterschiedliche Indizies

n_{B}

und

n_{C}

bekommt ... hier musst du anschließend die Monotonie der Algebren

A_{n} \subset A_{n + 1}

nutzen!

P.S.: Ersetzt man "Algebra" durch "Sigma-Algebra", so ist die Aussage falsch, und zwar scheitert sie an Punkt 3 (dann mit abzählbarer statt nur endlicher Vereinigung), d.h., man kann auf dieser Grundlage ein geeignetes Gegenbeispiel konstruieren.

sabsi

10:53 Uhr, 18.10.2023

Danke!!

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