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Unendliche geometrische Reihe

Schüler , 5. Klassenstufe

Tags: Geometrisch, Geometrische Reihe, unendlich

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07:45 Uhr, 10.09.2024

Hallo,
gegeben ist folgende geometrische Reihe:

\frac{1}{5} + {\frac{1}{5}}^{2} + {\frac{1}{5}}^{3} + {\frac{1}{5}}^{4} + . . .

∣ k ∣ < 1 : \sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{5})^{n - 1} = \frac{a}{1 - k}

Mein Lösungsansatz wäre nun

a = 1; k = \frac{1}{5}

sodass

\frac{a}{1 - k} = \frac{1}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{5}{4}

Problem: Die Musterlösung gibt

\frac{\frac{1}{5}}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{1}{4}

an.

Meine Frage daher: Warum wird von

a = \frac{1}{5}

ausgegangen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

HAL9000

07:58 Uhr, 10.09.2024

Wenn Formeln nur "so ungefähr" richtig sind, und auch nur "so ungefähr" angewendet werden dürfen, ist das ein Problem, wenn man das richtige Ergebnis rausbekommen will...

Konkret: Richtig ist

\sum_{n = 1}^{\infty} a \cdot k^{n - 1} = \frac{a}{1 - k}

für alle

∣ k ∣ < 1

.

Angewandt auf

a = 1, k = \frac{1}{5}

bedeutet das

\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{1}{5})}^{n - 1} = \frac{5}{4}

.

Schreiben wir die Summe links mal aus:

\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{1}{5})}^{n - 1} = {(\frac{1}{5})}^{0} + {(\frac{1}{5})}^{1} + {(\frac{1}{5})}^{2} + \dots

.

Das ist also nicht dasselbe wie die von dir zu berechnende Reihe: Der erste Summand

{(\frac{1}{5})}^{0} = 1

ist zuviel !!!

Daher muss der subtrahiert werden, das Ergebnis ist dann

{(\frac{1}{5})}^{1} + {(\frac{1}{5})}^{2} + \dots = \frac{5}{4} - 1 = \frac{1}{4}

mathe-frage aktiv_icon

08:06 Uhr, 10.09.2024

Ah, richtig. Danke!
Also

\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{5} \cdot (\frac{1}{5})^{n - 1} = \frac{1}{4}

KL700 aktiv_icon

12:48 Uhr, 10.09.2024

Zum Vergleich:

{(\frac{1}{5})}^{n - 1} = {(\frac{1}{5})}^{n} \cdot {(\frac{1}{5})}^{- 1} = 5 \cdot {(\frac{1}{5})}^{n}

5 vor die Summe ziehen und die Summenformel anwenden:

o_{0} = \frac{1}{5}, q = \frac{1}{5}

\sum = \frac{\frac{1}{5}}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{\frac{1}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{4} = \frac{1}{4}

Das Ganze mit 5 multipliziert ergibt:

5 \cdot \frac{1}{4} = \frac{5}{4} = 1,25

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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