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Unendliche geometrische Reihe in der Geometrie

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen, 10. Klassenstufe

Tags: endlich, Folgen, Geometrie, Reihen, unendlich

Midgard- aktiv_icon

16:53 Uhr, 23.02.2011

folgendes beispiel versteh ich nicht so ganz:

Eine Spirale entsteht dadurch, dass an einen Halbkreis wieder ein Halbkreis angehängt wird. Der erste Halbkreis besitzt einen Radius von 3cm, der Radius des jeweils nächsten ist

\frac{2}{3}

vom Radius des vorangehenden

a

. Ermittle die Summe der Länge der ersten

5,

Bögen.

b

. Ermittle die Gesammtlänge der Spirale

c

. Ermittle die Summe der Flächen der ersten 5 Halbkreise.

d

. Ermittle die Gesamtlänge des Streckenzugs.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

artiiK aktiv_icon

17:11 Uhr, 23.02.2011

Für den n-ten Halbkreis gilt:

r_{n} = \frac{2}{3} r_{n - 1}

Die Länge eines halben Kreisbogens ist

r \cdot π

Für die Länge der Spirale

l_{n}

mit

n

Halbkreisen gilt:

l_{n} = \sum_{i = 1}^{n} (3 \cdot π \cdot {(\frac{2}{3})}^{i - 1})

Das wär mal ein Anfang..

Midgard- aktiv_icon

17:21 Uhr, 23.02.2011

geht das nicht einfacher in der schule haben wir nicht mit diesem $Σ$ berechnet?

artiiK aktiv_icon

17:25 Uhr, 23.02.2011

naja das ist einfach eine verkürzte symbolische schreibweise für summen.
das heißt du fängst bei 5 halbkreisen beispielsweise bei

i = 1

an und summierst den term bist

n = 5 . .

also wie folgt:

3 \cdot π \cdot {(\frac{2}{3})}^{0} + 3 \cdot π \cdot {(\frac{2}{3})}^{1} + 3 \cdot π \cdot {(\frac{2}{3})}^{2} + 3 \cdot π \cdot {(\frac{2}{3})}^{3} + 3 \cdot π \cdot {(\frac{2}{3})}^{4}

Das ist die Länge der Spirale bis zum fünften Halbkreis..
Bei Rehen wird fast immer ein

\sum

oder ein

\prod

vewendet..

Midgard- aktiv_icon

17:45 Uhr, 23.02.2011

und wennst jz

z . b

bis zum 50en halbkreis gehen soll? da kann man ja nicht

50

mal

3 \cdot π

usw. aufschreiben

hagman aktiv_icon

22:00 Uhr, 24.02.2011

Deshalb verwendet man ja das Summenzeichen.
Allerdings kannst du auch so vielleicht einen vereinfachten Ausdruck für die Summe der ersten paa Bögen durch Zusammenfassen finden und erraten, was bei

50

sein könnte.

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