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Unendliche sigma-Algebra eine überabzählbare Menge

Universität / Fachhochschule

Maßtheorie

Tags: Maßtheorie, Menge, Sigma Algebra

mariem aktiv_icon

01:04 Uhr, 18.10.2014

Hallo!!!

Wie kann ich zeigen, dass eine unendliche

σ -

Algebra eine überabzählbare Menge ist?

Muss ich annehmen dass eine unendliche

σ -

Algebra eine abzählbare Menge ist?

Aber was kann ich dann tun?

anonymous

09:55 Uhr, 18.10.2014

Hallo,

ein Widerspruchsbeweis ist wohl das einfachste.
Ein möglicher Ansatz ist:
Setze

A_{1}, A_{2}, . . .

für die Elemente der sigma-Algebra.
Definiere

B_{x} = ⋂_{i : x \in A_{i}} A_{i}

Von diesen Elementen gibt es endlich/abzählbar viele (je nachdem ob die Sigma-Algebra endlich/abzählbar).
Diese Mengen haben die nette Eigenschaft, dass sie entweder identisch oder disjunkt sind.
Damit ist die Menge aller Vereinigungen der

B_{x}

überabzählbar und eine Teilmenge der Sigma-Algebra.

mariem aktiv_icon

13:27 Uhr, 18.10.2014

Also, um ein Widerspruch zu bekommen, nehmen wir an dass eine unendliche sigma-Algebra abzählbar ist.

A_{1}, A_{2}, \dots

sind die Elemente der sigma-Algebra.

B_{x} = \cap_{i : x \in A_{i}} A_{i}

ist die Schnittmenge aller

A_{i}

, die das

x

enthalten.

Warum gibt es von diesen Elementen abzählbar viele?

Sind diese Mengen entweder identisch oder disjunkt, weil es für verschiedene

x, y

(

x \neq y

B_{x} \neq B_{y}

gilt ?

anonymous

13:34 Uhr, 18.10.2014

Die Antwort auf die zweite Frage ist nein.

Und ich möchte hier keine Musterlösung geben. Ich hab eine Skizze eines möglichen Beweises gegegeben. Ich schau gern über deinen Beweis drüber oder geb evtl. zusätzliche Hinweise, aber dann muss auch was von dir kommen - sonst hast du nichts davon; kannst den Beweis auch gleich irgendwo abschreiben.

mariem aktiv_icon

14:56 Uhr, 18.10.2014

Um zu zeigen dass die Mengen

B_{x}

entweder identisch oder disjunkt sind, habe ich folgendes versucht:

Wenn

B_{x} \cap B_{y} \neq 0

dann

\exists x : x \in B_{x} \cap B_{y} \Rightarrow B_{x} \subseteq B_{x} \cap B_{y}

w \in B_{x} \cap B_{y} \Rightarrow w \in B_{x} \Rightarrow B_{x} \cap B_{y} \subseteq B_{x}

Also

B_{x} = B_{x} \cap B_{y} \Rightarrow B_{x} = B_{y}

Ist meine Idee richtig? Oder kann man das nicht so beweisen?

anonymous

16:33 Uhr, 18.10.2014

Die Idee ist wahrscheinlich richtig, wirlkich beurteilen kann ich es nicht, da du u.a. die Variable x doppelt belegt hast.

mariem aktiv_icon

16:55 Uhr, 18.10.2014

Also wenn ich die Variable

w

x

nenne, ist dann der Beweis richtig?

anonymous

10:35 Uhr, 20.10.2014

Ich sehe keine Variable w, nur ein Element w. Und dieses auch noch x zu nennen macht die Sache schlimmer, nicht besser: Dann hätten drei unterschiedliche Objekte den selben Namen.

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