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Unfaire Münze werfen

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Tags: Münzwurf, Stochastik, test

i-benni aktiv_icon

14:59 Uhr, 06.05.2013

Hallo zusammen, die folgende Aufgabe fällt mir etwas schwer:

Eine unfaire Münze wird 20 mal geworfen. Das Ereignis Zahl tritt mit Wahrscheinlichkeit

p \in (0, 1)

auf.
i) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten fünf Würfe alle Zahl ergeben haben?

ii) Angenommen, es wäre 15 mal Zahl geworfen worden. Wie groß ist jetzt die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten fünf Würfe jeweils Zahl ergeben haben?

Also ich habe mich zunächst an die Modellierung gemacht:

Ω = {0, 1}^{2} 0 = {X = (x_{1}, x_{2}, . . ., x_{2} 0} ∣ x_{i} \in {0, 1} \forall i = 1, . . . 20}

, wobei Kopf

≃ 0

und Zahl

≃ 1

Weiter ist

P (1) = p, P (0) = 1 - p

.
Dann dachte ich mir, müsste dies doch eigentlich mit der Bernoulli Verteilung funktionieren?! Also mit Zähldichte (n=20)

P ({X}) = p^{\sum_{i = 1}^{20} x_{i}} (1 - p)^{20 - \sum_{i = 1}^{20} x_{i}}

Aber ich habe ja keine weiteren Werte gegeben also kann ich doch gar nicht viel mehr machen? Oder wie geht man hier weiter vor?

Vielen Dank (:

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Matheboss aktiv_icon

15:34 Uhr, 06.05.2013

Wenn nur die Wahrscheinlichkeit über die ersten 5 Würfe gefragt ist und keine Aussage über den Rest der Würfe gemacht sind, dann ist die Länge der Kette unwichtig.

I)

P (X) = p^{5} \cdot 1^{15} = p^{5}

II) edidiert, da falsch gelesen.

Wäre nach "nur die ersten 5....", dann müsstest Du auch den Rest betrachten.
Dann wäre es unterschiedlich.

i-benni aktiv_icon

15:50 Uhr, 06.05.2013

Also, dass bei i)

p^{5}

das Ergebnis ist, hatte ich eigentlich auch vermutet, es kam mir nur etwas trivial vor :-D)

Zu b) Also ich denke das ist so zu verstehen, dass auch hier 20 Mal geworfen wird. Und von diesen 20 Würfen haben 15 das Resultat "Zahl" gehabt. Und jetzt ist danach gefragt wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür ist, das 5 dieser 15 "Zahlwürfe" direkt in den ersten 5 Versuchen gekommen sind. Geht deine Gleichung nicht nur von 15 Würfen aus?

Matheboss aktiv_icon

15:54 Uhr, 06.05.2013

Entschuldige, da habe ich etwas gelesen, was nicht dasteht.

Hier würde ich die ersten 5 mit Reiehenfolge ansetzen, den Rest mit Bernoulli

P (X) = p^{5} \cdot (\begin{matrix} 15 \\ 10 \end{matrix}) \cdot p^{10} \cdot {(1 - p)}^{5}

i-benni aktiv_icon

15:59 Uhr, 06.05.2013

Vielen Dank,
also beschreibt in dem Term das

p^{5}

die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten 5 Würfe Zahl ergeben, und der "Rest" beschreibt die Wahrscheinlichkeit für Zahl der übrigen 15 Würfe, ist das so richtig?

Matheboss aktiv_icon

16:00 Uhr, 06.05.2013

Genau so.

Matlog aktiv_icon

16:35 Uhr, 06.05.2013

Nehmen wir einmal an, dass die Interpretation von i-benni zu Aufgabenteil ii) stimmt( und dafür spricht viel):

Dann ist aber eine bedingte Wahrscheinlichkeit gesucht.
Matheboss hat die Wahrscheinlichkeit berechnet, dass die ersten fünf Würfe alle Zahl ergeben UND (von den

20

Würfen) insgesamt

15

Mal Zahl kommt.
Dies müsste man dann noch durch die Wahrscheinlichkeit dividieren, dass

15

Mal Zahl kommt.

Matheboss aktiv_icon

16:44 Uhr, 06.05.2013

Ich denke Matlog hat recht.

Bedingung "..15 mal Zahl" geworfen".

i-benni aktiv_icon

14:34 Uhr, 07.05.2013

Ok, das mit der bedingten Wahrscheinlichkeit leuchtet mir ein!
Die Wahrscheinlichkeit, dass 15 von 20 Mal Zahl kommt, wäre doch dann (mit Binomialverteilung)

(\binom{20}{15}) p^{15} (1 - p)^{5}

ist das korrekt ?
danke, lg

Matheboss aktiv_icon

15:43 Uhr, 07.05.2013

Ist korrekt.

...und wenn ich mich nicht wieder verrechnet habe

P (x) \approx 0,1937

Matlog aktiv_icon

17:03 Uhr, 07.05.2013

Es ist schon bemerkenswert, dass die Wahrscheinlichkeit im Fall ii) nicht von

p

abhängt!

Die Situation ist aber auch eher ungewöhnlich: Man weiß, dass insgesamt

15

Mal Zahl kam, weiß aber nicht (mehr), wann diese kamen. Seltsame Informationslage, aber das kann ja durchaus so sein.

i-benni aktiv_icon

18:26 Uhr, 07.05.2013

Keine Sorge Matheboss, ich komme auf den selben Wert ;-)
Finde es auch seltsam, dass das Ergebnis hier nicht mehr von p selbst abhängt, aber nun gut ^^

Vielen Dank für eure Hilfe!

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